Лекция 6: Некоторые задачи нелинейного программирования и нахождение опорного плана для задачи линейного программирования

Основные предположения

Определение. Назовем плоскость в n -мерном пространстве образующей вершины A выпуклого многогранника R допустимых решений задачи ЛП, если ее уравнение входит в состав системы n линейных уравнений границ многогранника R, решением которой является точка A.

В общем случае каждая вершина многогранника R имеет не менее n образующих плоскостей. Часть из них может совпадать с координатными плоскостями.

Изменим обозначение плоскостей-граней, образующих исследуемую далее верхнюю (нижнюю) поверхность многогранника R:

Q_верхн (Q_нижн) ={p₁, p₂,... , p_r, p_r+1, ... ,p_r+n}. (6.7)

Здесь , j = 1, ... , r, — действительные плоскости грани, p_r+k = q_m+k, k = 1, ... , n, — координатные плоскости.

Сменим обозначение и коэффициентов уравнений плоскостей, выделив совокупность всех граней многогранника R — действительных и возможных, образующих исследуемую (верхнюю или нижнюю) поверхность:

p₁ = d₁₁ x₁ + d₁₂ x₂ +... + d_1n x_n = 0

p₂ = d₂₁ x₁ + d₂₂ x₂ +... + d_2n x_n = 0

...

p_r = d_r1 x₁ + d_r2 x₂ +... + d_{r n} x_n = 0 (6.8)

p_r+1 = x₁ = 0

...

p_r+n = x_n = 0.

Найдем координаты единичных векторов нормалей N_j, j = 1,... , n+r, к плоскостям (6.8):

где Тогда косинус угла между нормалями к двум граням верхней (нижней) поверхности R вычисляется как результат скалярного произведения единичных векторов нормалей: Выскажем гипотезу, которая является основой теоремы существования:

Если плоскости p_j и p_q совместно не являются образующими какой-либо вершины верхней (нижней) поверхности выпуклого многогранника R допустимых решений задачи ЛП, а их нормали N_j и N_q образуют "угол" то существует плоскость p_l с нормалью N_l, совместно с p_j являющаяся образующей некоторой вершины этой же поверхности и такая, что "угол" между нормалями N_j и N_l меньше угла ).

Слово "угол" берем в кавычки в связи с тем, что любой угол измеряется в плоскости и видеть его мы можем в двух- и трехмерном пространстве.

В общем случае n -мерного пространства мы можем судить о величине угла по его косинусу, который отыскивается как результат скалярного произведения единичных векторов. Отсюда следует, что геометрически мы можем продемонстрировать верность гипотезы в двух- и трехмерном пространстве. В общем же случае доказательство ее справедливости должно быть аналитическим.

Итак, поясним высказанное предположение "плоским" рис. 6.4.

Выделим произвольную вершину A многогранника R. Она "окружена" образующими ее гранями (на плоскости — ребрами). Пусть p_j — одна из них. Любая грань, не являющаяся образующей вершины A, например — грань (ребро) p_q, добавляет угол излома поверхности в угол наклона ее нормали N_q. Точка пересечения p_j и p_q находится вне R. Тогда должна существовать образующая эту же вершину грань (ребро) p_l, нормаль к которой N_l имеет меньший угол наклона, .

Представим (рис. 6.5) аналогичную картину в трехмерном пространстве.

Пусть p₂ и p₃ не являются смежными на данной поверхности многогранника R, то есть не имеют общего ребра и, следовательно, совместно не являются образующими какой-либо вершины. Тогда существует одна или более разделяющих их граней, здесь, например — грань p₁, нормаль к которой N₁ образует с нормалью N₂ угол меньший угла — угла между нормалями N₂ и N₃.

Минуя формальное и строгое доказательство, продолжим пояснение гипотезы на качественном уровне.

Грани p₁ и p₂ являются образующими двух вершин A и B. Для гарантии смежности этих граней, то есть того, что они совместно являются образующими какой-то вершины, можно в основу выбора такой вершины положить минимальный угол между нормалями к ним. То есть будем считать, что если для фиксированной грани p_j найден минимальный из углов между нормалью N_j к этой грани и нормалями ко всем другим граням этой же поверхности, — угол между нормалью N_j и нормалью N_l, то две грани p_j и p_l совместно являются образующими хотя бы одной вершины этой поверхности.

Чтобы найти третью грань — третье уравнение для нахождения точки в трехмерном пространстве, следует искать такую грань (например, p₄ на рис. 6.5), между нормалью к которой и нормалями N₁ и N₂ углы также меньше тех углов, которые N₁ и N₂ образуют с нормалями несмежных граней. Такая грань будет смежной и p₁, и p₂.

Теорема. Пусть p — произвольная грань верхней (нижней) поверхности многогранника R допустимых решений задачи ЛП. Составим неубывающую последовательность углов между нормалью к этой грани и нормалями всех граней этой же поверхности (включая нормаль к этой же грани; этот угол равен нулю). Первые n минимальных отличных от нуля углов этой последовательности указывают на n граней, являющихся образующими некоторой вершины многогранника R.

Доказательство. Пусть среди выделенных таким образом граней есть грань, не являющаяся совместно с другими образующей одной вершины. Тогда, по теореме-гипотезе, существует образующая ту же вершину грань, не параллельная первой и такая, нормаль к которой составляет с нормалью к p угол, меньший, чем выделенный по указанной последовательности. Это противоречит правилу выбора n минимальных углов.