Конечные автоматы: преобразователи и распознаватели

Пример 4.4. Рассмотрим язык L, состоящий из всех слов в алфавите , которые начинаются на aa и содержат нечетное число символов b.

Для выделения слов, начинающихся на aa, создадим начальное состояние q₀, которое первый символ a будет переводить в состояние q₁, а второй символ a будет переводить q₁ в состояние q₂. Ясно, что все слова, которые начинаются на ab, ba, bb, сами не входят в язык L и все их продолжения также ошибочны. Заведем для них "ошибочное" состояние q_!. Остальные слова естественно разбиваются на два класса: те, в которых четное число символов b, и те, в которых число таких символов нечетно (они и принадлежат L ).

Рис. 4.2. Диаграмма автомата A

Так как после получения aa число b четно, то для представления слов первого класса будем использовать состояние q₂, а для представления слов второго - создадим состояние q₃, которое и будет заключительным. В результате получаем автомат, диаграмма которого представлена на рис. 4.2. (Мы отмечаем на рисунках диаграмм начальное состояние стрелкой а заключительные состояния - двумя окружностями).

Проверим работу этого автомата, например, на входном слове w=aaababa. При его чтении порождается следующая последовательность конфигураций:

Заключительное состояние этого вычисления q₂ не является заключительным. Следовательно, . Если же мы рассмотрим в качестве входа слово w₁= w b= aaababab, то, продолжив на один шаг приведенное выше вычисление, получим, что . Следовательно, .

Мы проверили, что на двух входах автомат A работает верно. Как установить, что он построен корректно, т.е. верно работает на всех входных словах и распознает L? Типичная схема доказательства правильности конечного автомата такова:

1. определить (описать) для каждого состояния язык L(q), который состоит из слов, переводящих начальное состояние q₀ в q ;
2. доказать, что это определение правильное, используя индукцию по длине входного слова ;
3. показать, что .

Применим эту схему к доказательству правильности, построенного выше автомата A. Языки, связанные с состояниями этого автомата, фактически, уже были определены при его построении. Уточним их:

Правильность определения языков L(q₀), L(q₁) и L(q_!) следует непосредственно из определения A. Самое короткое слово, переводящее q₀ в q₂ - aa, и оно принадлежит L(q₂). Аналогично, самое короткое слово, переводящее q₀ в q₃ - aab, и оно принадлежит L(q₃). Предположим теперь, что для каждого слова w длины <= n выполнено условие (*):

w переводит начальное состояние q₀ в .

Покажем, что оно будет выполнено и для всех слов длины n +1.

Пусть |w|=n+1. Тогда , где . Так как |w'|=n, то для w' выполнено условие (*). Поэтому, если w' переводит q₀ в q₂, то это слово начинается с aa и содержит четное число b. При слово w переводит q₀ в q₂ и также начинается с aa и содержит четное число b, а при слово w переводит q₀ в q₃, начинается с aa и содержит нечетное число b, т.е. принадлежит L.

Аналогично, если w' переводит q₀ в q₃, то это слово начинается с aa и содержит нечетное число b. При слово w также переводит q₀ в q₃ и также начинается с aa и содержит нечетное число b, а при w переводит q₀ в q₂, оно начинается с aa и содержит четное число b. Обратно, если , то слово w переводит q₀ в w' переводит q₀ в q_i\ (i=2,3) и условие (*) выполнено, так как четность числа букв b в w и в w' одинакова. Если же , то из определения автомата A следует, что слово w переводит q₀ в w' переводит q₀ в q₃ и w переводит q₀ в w' переводит q₀ в q₂. Так как четность числа букв b в w и в w' разная, то и в этом случае условие (*) выполнено. Для завершения доказательства осталось заметить, что единственным заключительным состоянием автомата A является q₃ и поэтому L_A = L(q₃) = L.