НОУ ИНТУИТ | Моделирование, тестирование и диагностика цифровых устройств. Лекция 7: Система многозначных алфавитов и функций

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 06.09.2012 | Уровень: для всех | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет путей сообщения

|

Вам нравится? Нравится 29 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Основные многозначные алфавиты как подмножества универсального 16-значного алфавита

Наиболее широко применяемый на практике алфавит E_3 образует следующее подмножество алфавита $B_{16}:0=\lbrace 0\rbrace (\text{код }1000), 1=\lbrace 1\rbrace (\text{код }0001), u=\lbrace 0\cup D^\prime \cup D \cup 1\rbrace (\text{код }1111).$ Рассмотрим пример вычисления функции $f=a \vee b$ в троичном алфавите, используя характеристические функции, приведенные в Табл.7.5.

Пусть $a=1:a^0=0, a^{D^\prime}=0,a^D=0,a^1=1$ , и $b=0:b^0=1, b^{D^\prime}=0,b^D=0,b^1=0$ , тогда получаем

$f^0=0\cdot 1=0\\ f^{D^\prime}=0\cdot 1 \vee 0 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0=0\\f^D=0 \cdot 1 \vee 0 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0 =0\\f^1=1 \vee 0 \vee 0 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0 =1$

Таким образом, согласно кодированию алфавита $B_{16}$ (Табл.7.1) код $f^0=0, f^{D^\prime}=0,f^D=0,f^1=1$ определяет значение f=1 , что соответствует таблице истинности функции ИЛИ в троичном алфавите.

Алфавит E_5 , являющийся расширением алфавита E3, определяется следующим подмножеством 16-значного алфавита:

$0=\lbrace 0\rbrace (\text{код }1000), 1=\lbrace 1\rbrace (\text{код }0001),E=\lbrace 0 \cup D^\prime \cup 1 \rbrace (\text{код }1101),\\H=\lbrace 0 \cup D \cup 1 \rbrace (\text{код }1011), u=\lbrace 0\cup D^\prime \cup D \cup 1\rbrace (\text{код }1111)$

Рассмотрим пример вычисления функции $f=a \vee b$ в 5-значном алфавите, используя характеристические функции, приведенные в Табл.7.5.

Пусть $a=0:a^0=1, a^{D^\prime}=0,a^D=0,a^1=0$ , и $b=E:b^0=1, b^{D^\prime}=1,b^D=0,b^1=1$ , тогда получаем

$f^0=1 \cdot 1=1\\ f^{D^\prime}=0 \cdot 1 \vee 1 \cdot 1 \vee 0 \cdot 1=1\\ f^D=0 \cdot 1 \vee 1 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0 =0\\ f^1=0 \vee 1 \vee 0 \cdot 1 \vee 0 \cdot 0 =1$

То есть, согласно кодированию алфавита $B_{16}$ код $f^0=1, f^{D^\prime}=1,f^D=0,f^1=1$ определяет значение f=E, что соответствует таблице истинности функции ИЛИ в 5-значном алфавите.

На рис.7.2 представлена алгебраическая структура алфавитов E_3 и E_5. В силу построения рассмотренные алфавиты являются частично упорядоченными подмножествами и образуют структуры типа верхняя полурешетка

Таблица 7.8.
Элементы	Интерпретация
$0 \times 0 \times 0$	Статический
$1 \times 1 \times 1$	Статическая
$0 \times u \times 1$	Переход $0 \to 1$
$1 \times u \times 0$	Переход $1 \to 0$
$0 \times u \times 0$	Статическое -состязание
$1 \times u \times 1$	Статическое -состязание

Таблица 7.9.
Элементы	Интерпретация
$0 \times 0 \times 0$	Статический
$1 \times 1 \times 1$	Статическая
$0 \times E \times 1$	Переход $0 \to 1$
$1 \times H \times 0$	Переход $1 \to 0$
$0 \times u \times 0$	Статическое -состязание
$1 \times u \times 1$	Статическое -состязание
$0 \times H \times 1$	Динамическое -состязание
$1 \times E \times 0$	Динамическое -состязание

Отметим, что 6-значный и 8-значный алфавиты H_6 и H_8 соответственно, используемые в методах анализа состязаний сигналов также могут быть получены из алфавита $B_{16}$ , так как определяются следующими подмножествами: $H_6 \subseteq B_2 \times E_3 \times B_2, H_8 \subseteq B_2 \times E_5 \times B_2.$ При этом, как было показано в разделе 2.9.2, моделирование с анализом на состязания выполняется на трех наборах: текущем основном в алфавите B_2 , на промежуточном наборе: при использовании H_6 - в алфавите E_3 (при использовании H_8 - в алфавите E_5 ) следующем основном наборе в алфавите B_2. Такой способ моделирования с использованием трех наборов соответствует математической структуре алфавитов H_6 и H_8. Результаты моделирования интерпретируются в соответствии с таблицами 7.8 и 7.9 соответственно. Отметим, что алфавит H_8 позволяет обнаруживать динамические состязания. В алгоритмах анализа состязаний иногда используется также алфавит H_9 , содержащий все элементы алфавита H_8 и элемент $u \times u \times u$ , соответствующий неопределенному состоянию.

Алфавит T_6 , наиболее широко применяемый в методах генерации тестов (он будет дальше использоваться в лекции является подмножеством 16-значного алфавита:

$\varnothing=\lbrace \varnothing \rbrace (\text{код }0000), 0=\lbrace 0\rbrace (\text{код }1000), 1=\lbrace 1\rbrace (\text{код }0001),\\ D=\lbrace D \rbrace (\text{код }0010),D^\prime=\lbrace D^\prime \rbrace (\text{код }0100), u=\lbrace 0\cup D^\prime \cup D \cup 1\rbrace (\text{код }1111)$

Рассмотрим пример вычисления функции $f=a \vee b$ в 6-значном алфавите, используя характеристические функции, приведенные в Табл.7.5. Пусть $a=D:a^0=0, a^{D^\prime}=0,a^D=1,a^1=0$ , и $b= D^\prime:b^0=0, b^{D^\prime}=1,b^D=0,b^1=0$ , тогда получаем

$f^0=0 \cdot 0=0\\ f^{D^\prime}=0 \cdot 0 \vee 0 \cdot 1 \vee 0 \cdot 1=0\\ f^D=1 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0 \vee 1 \cdot 0 =0\\ f^1=0 \vee 0 \vee 1 \cdot 1 \vee 0 \cdot 0 =1$

То есть, согласно кодированию алфавита $B_{16}$ (Табл.7.1) код $f^0=0, f^{D^\prime}=0,f^D=0,f^1=1$ определяет значение f=1 , что соответствует таблице истинности функции ИЛИ в алфавите T_6.

Широкое применение в методах генерации тестов находит также алфавит $T_{10}$ , являющийся подмножеством 16-значного алфавита. Он определяется следующим его подмножеством:

$\varnothing=\lbrace \varnothing \rbrace (\text{код }0000), 0=\lbrace 0\rbrace (\text{код }1000), 1=\lbrace 1\rbrace (\text{код }0001),\\ D=\lbrace D \rbrace (\text{код }0010),D^\prime=\lbrace D^\prime \rbrace (\text{код }0100), G0=\lbrace 0 \cup D^\prime \rbrace (\text{код }1100), \\ F0=\lbrace 0 \cup D \rbrace (\text{код }0101), G1=\lbrace D \cup 1 \rbrace (\text{код }0011), F1=\lbrace D^\prime \cup 1 \rbrace (\text{код }1010), \\ u=\lbrace 0\cup D^\prime \cup D \cup 1\rbrace (\text{код }1111)$

Рассмотрим пример вычисления функции $f=a \vee b$ в 10-значном алфавите, используя характеристические функции, приведенные в Табл.7.5. Пусть $a=D:a^0=0, a^{D^\prime}=0,a^D=1,a^1=0$ , и $b= G1:b^0=0, b^{D^\prime}=0,b^D=1,b^1=0$ , тогда получаем

$f^0=0 \cdot 0=0\\ f^{D^\prime}=0 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0 \vee 0 \cdot 0=0\\ f^D=1 \cdot 0 \vee 0 \cdot 1 \vee 1 \cdot 1 =1\\ f^1=0 \vee 1 \vee 1 \cdot 0 \vee 0 \cdot 1 =1$

Тогда, согласно кодированию алфавита $B_{16}$ (Табл.7.1), код $f^0=0, f^{D^\prime}=0,f^D=1,f^1=1$ определяет значение f=G1 , что соответствует таблице истинности функции ИЛИ в алфавите $T_{10}.$ В генерации тестов используется также и 12-значный $T_{12}=\lbrace \varnothing, 0,1,D^\prime,D,F0,F1,G0,G1,D^*,C,u \rbrace$ алфавит, также являющиеся расширением алфавита T_6.

Из выше сказанного можно сделать заключение, что при методе кодирования, используемом в алфавите $B_{12}$ , описание поведения многозначных функций с помощью упорядоченного множества характеристических функций $f^0, f^{D^\prime},f^D,f^1$ может быть использовано в методах генерации тестов и моделирования логических схем, базирующихся на применении основных многозначных алфавитов. С этой точки зрения описанная 16-значная логика $(B_{16}(f^0, f^{D^\prime},f^D,f^1))$ является универсальной математической моделью для методов генерации тестов и моделирования.

Алгебраическая структура многозначных алфавитов

Показано, что рассмотренный 16-значный алфавит $B_{16}$ образует булеву алгебру, представленную на Рис.7.1. Используемый метод построения позволяет утверждать, что основные многозначные алфавиты, применяемые в методах генерации проверяющих тестов и моделирования ДУ, являются частично упорядоченными подмножествами $B_{16}.$ Так, например, алфавиты E_3 и E_5 образуют структуры типа верхняя полурешетка, которые не содержат наименьший элемент. Эти структуры представлены на рис.7.2а и рис.7.2б. Если к алфавиту E_3 добавить наименьший элемент $\varnothing$ , то получим алфавит C_4 , также представленный на рис.7.2в, который используется при моделировании шинных структур. Знание алгебраической структуры основных многозначных алфавитов позволяет строить с помощью алгебраических операций новые алфавиты, необходимые при моделировании или генерации тестов схем, выполненных по какой либо новой технологии. Например, на рис.7.2г, рис.7.2д представлены алфавиты L_1 и L_2 , которые получены из алфавита C_4 и широко используются при моделировании шинных структур.