НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 10: Основные свойства контекстно-свободных языков

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: свободно | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

9.2*. Лемма о разрастании для линейных языков

Определение 9.2.1. Линейная грамматика в нормальной форме - это такая линейная грамматика, в которой каждое правило имеет вид $A \tto \varepsilon$ , $A \tto a$ , $A \tto a B$ или $A \tto B a$ , где $A \in N$ , $B \in N$ , $a \in \Sigma$ .

Теорема 9.2.2. Каждая линейная грамматика эквивалентна некоторой линейной грамматике в нормальной форме.

Теорема 9.2.3. Если линейный язык не содержит пустого слова, то он порождается некоторой линейной грамматикой в нормальной форме без $\varepsilon$ - правил.

Теорема 9.2.4. Язык L является линейным тогда и только тогда, когда язык $L \sminus \{ \varepsilon \}$ является линейным.

Лемма 9.2.5. Пусть L - линейный язык над алфавитом $\Sigma$ . Тогда найдется такое положительное целое число p, что для любого слова $w \in L$ длины не меньше p можно подобрать слова $u , v , x , y , z \in \Sigma ^*$ , для которых верно uvxyz = w, $v y \neq \varepsilon$ ( то есть $v \neq \varepsilon$ или $y \neq \varepsilon$ ), $| u v | + | y z | \leq p$ и $u v ^i x y ^i z \in L$ для всех $i \in \mathbb{N}$ .

Доказательство. Пусть язык $L \sminus \{ \varepsilon \}$ порождается линейной грамматикой в нормальной форме $G = \lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ без $\varepsilon$ -правил. Положим p = |N| + 1. Пусть $w \in L$ и $| w | \geq p$ . Зафиксируем некоторое дерево вывода слова w в грамматике G. Рассмотрим самый длинный путь в этом дереве (он начинается с корня и заканчивается некоторым листом, помеченным символом из $\Sigma$ ). Этот путь содержит не менее |N| + 1 вершин, помеченных элементами N. Среди первых |N| + 1 вершин рассматриваемого пути найдутся две вершины с одинаковыми метками. Выберем слова u, v, x, y и z так, что uvxyz = w, поддерево с корнем в одной из найденных вершин имеет крону x и поддерево с корнем в другой найденной вершине имеет крону vxy.

Пример 9.2.6. Рассмотрим язык $L = \{ a^m b^m a^n b^n \mid m \geq 0 \commaand n \geq 0 \}$ над алфавитом {a,b}. Утверждение леммы 9.2.5 не выполняется ни для какого натурального числа p. Следовательно, язык L не является линейным.