Системы счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Система счисления

Система счисления — совокупность приемов и правил для записи чисел цифровыми знаками.

Любая предназначенная для практического применения система счисления должна обеспечивать:

• возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;
• единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);
• простоту оперирования числами.

Типы систем счисления:

• позиционные,
• непозиционные.

Непозиционные системы счисления (СС) характеризуются тем, что для представления какого-либо числа используется определенный набор символов, который изменяется при изменении диапазона представляемых чисел. В качестве типичного примера непозиционной системы счисления обычно приводится римская система счисления, в которой для небольших чисел и коррекции чисел с большим значением используется символ I. Для представления больших чисел приходится вводить новые символы (V, X, C и т.д.).

В позиционных системах счисления значение единицы цифры каждого разряда числа имеет постоянный вес. Этот вес определяется позицией, которую разряд занимает по отношению к запятой:

234,56₁₀ = 2*10² + 3*10³ + 4*10⁴ + 5*10^-1 + 6*10^-2

С этой точки зрения, римская система счисления не является чисто непозиционной, т.к., например, число IV равно четырем, а число VI – шести.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание (базис) p-й позиционной системы счисления – количество знаков, или символов, используемых для изображения числа в данной системе:

• p=10 → {a_i} = 0,1, …,9;

• p=2 → {a_i} = 0,1;

• p=5 → {a_i} = 0,1,2.3.4;

• p=16 → {a_i} = 0, 1, …, 9, A, B, C, D, E, F;

• p=q→ {a_i} = 0,1.,…,q-1

Для любой позиционной системы счисления основание изображается числом 10 в данной системе.

В общем виде число А в p-ной позиционной системе счисления представляется в виде:

( 6.1)

При k = Const получается число, носящее, в общем случае, название числа с фиксированной точкой, но имеющее две разновидности:

• k=0: правильная дробь – число с фиксированной запятой, то есть правильную дробь

  A = a_-1*p^-1+a_-2*p^-2+…+a_-m*p^-m

• k=r: целое число – число с фиксированной точкой, то есть целое число

  A = a_n*pⁿ+a_n-1*p^n-1+…+a₁*p¹+a₀*p⁰

При k ≠Const получается число с плавающей запятой.

Представление в виде числа с фиксированной точкой (или ее разновидности – с фиксированной запятой) влияет на диапазон представляемых чисел и их точность.

Микропроцессоры, которые в настоящее время служат основой для построения ЭВМ различных типов, содержат в своем составе как блоки, предназначенные для обработки целых чисел (СPU –CentralPointUnit), так и блоки для обработки чисел с плавающей запятой (FPU – FloatingPointUnit, в силу англоязычной специфики представления дробных чисел целая часть от дробной отделяется не запятой, а точкой). Представление чисел с плавающей запятой включает в себя порядок (целое число) и мантиссу (правильную дробь), которые обрабатываются в отдельных блоках FPU. Поэтому изучение особенностей представления и обработки каждого из типов чисел чрезвычайно важно для изучения устройства ЭВМ, выбора необходимого формата данных как с точки зрения требуемого диапазона, так и допустимой погрешности.

Обсуждение способов кодирования и различных алгоритмов обработки чисел мы будем проводить, в основном, на примере чисел с фиксированной запятой, так как именно в этом формате представляются мантиссы чисел с плавающей запятой, что сказывается на обработке чисел с плавающей запятой в целом. В свою очередь использование чисел с плавающей запятой играет в настоящее время весьма важную роль в процессе человеко-машинного общения, снимая с программиста во многих случаях обязанность по отслеживанию диапазона и точности используемых и получаемых данных.

К тому же числа с фиксированной запятой играют заметную самостоятельную роль в специализированных компьютерах, работающих в определенном диапазоне чисел, повышая при этом быстродействие таких вычислений, что особенно проявилось в ЭВМ второго и третьего поколений.