Опубликован: 16.12.2009 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Дополнительный материал 2:

Нечеткие и случайные множества

П2-4. Пересечения и произведения нечетких и случайных множеств

Выясним, как операции над случайными множествами соотносятся с операциями над их проекциями. В силу законов де Моргана (теорема 1) и теоремы 5 достаточно рассмотреть операцию пересечения случайных множеств.

Теорема 6. Если случайные подмножества А_1 и А_2 конечного множества У независимы, то нечеткое множество Proj (A_1 \bigcap A_2) является произведением нечетких множеств Proj A_1 и Proj A_2 .

Доказательство. Надо показать, что для любого y \in Y

P(y \in A_1 \bigcap A_2)=P(y \in A_1) P(y \in A_2) ( 8)

По формуле для вероятности накрытия точки случайным множеством ( "Статистика нечисловых данных" )

P(y \in A_1 \bigcap  A_2)= \sum_{X \colon y \in X} P((A_1 \bigcap A_2)=X) ( 9)

Как известно, распределение пересечения случайных множеств A_1 \bigcap A_2 можно выразить через их совместное распределение следующим образом:

P(A_1 \bigcap A_2=X)= \sum_{X_1, X_2 \colon X_1 \bigcap X_2=X} P(A_1=X_1, A_2=X_2) ( 10)

Из соотношений (9) и (10) следует, что вероятность накрытия для пересечения случайных множеств можно представить в виде двойной суммы

P(y \in A_1 \bigcap A_2)= \sum_{X \colon y \in X} \sum_{X_1, X_2 \colon X_1 \bigcap X_2=X} P(A_1=X_1, A_2=X_2) ( 11)

Заметим теперь, что правую часть формулы (11) можно переписать следующим образом:

\sum_{X_1, X_2 \colon e \in X_1, e \in X_2} P(A_1=X_1, A_2=X_2) ( 12)

Действительно, формула (11) отличается от формулы (12) лишь тем, что в ней сгруппированы члены, в которых пересечение переменных суммирования X_1 \bigcap X_2 принимает постоянное значение. Воспользовавшись определением независимости случайных множеств и правилом перемножения сумм, получаем, что из (11) и (12) вытекает равенство

P(y \in A_1 \bigcap A_2)= \left( \sum_{X_1; y \in X_1} P(A_1=X_1) \right) \left( \sum_{X_2; y \in X_2} P(A_2=X_2) \right)

Для завершения доказательства теоремы 6 достаточно еще раз сослаться на формулу для вероятности накрытия точки случайным множеством ( "Статистика нечисловых данных" ).

Определение 3. Носителем случайного множества С называется совокупность всех тех элементов y \in Y для которых P(y \in C)>0

Теорема 7. Равенство

Proj (A_1 \bigcap  A_2)=(Proj A_1) \bigcap (Proj A_2)

верно тогда и только тогда, когда пересечение носителей случайных множеств \bar {A_1} \bigcap A_2 и A_1 \bigcap \bar {A_2} пусто.

Доказательство. Необходимо выяснить условия, при которых

p(y \in A_1 \bigcap A_2)= \min (P(y \in A_1), P(y \in A_2)) ( 13)

Положим

p_1=P(y \in A_1 \bigcap A_2), p_2=P(y \in \bar {A_1} \bigcap A_2), p_3=P(y \in A_1 \bigcap \bar {A_2})

Тогда равенство (13) сводится к условию

p_1=\min(p_1+p_2, p_1+p_3) ( 14)

Ясно, что соотношение (14) выполнено тогда и только тогда, когда р_2р_3=0 при всех y \in Y т.е. не существует ни одного элемента y_0 \in Y такого, что одновременно P(y_0 \in \bar {A_1} \bigcap A_2) >0 и P(y_0 \in A_1 \bigcap  \bar {A_2})>0, а это эквивалентно пустоте пересечения носителей случайных множеств \bar {A_1} \bigcap A_2 и A_1 \bigcap \bar {A_2}. Теорема 7 доказана.

П2-5. Сведение последовательности операций над нечеткими множествами к последовательности операций над случайными множествами

Выше получены некоторые связи между нечеткими и случайными множествами. Стоит отметить, что изучение этих связей в работе [5] (эта работа выполнена в 1974 г. и доложена на семинаре "Многомерный статистический анализ и вероятностное моделирование реальных процессов" 18 декабря 1974 г. - см. [5, с.169]) началось с введения случайных множеств с целью развития и обобщения аппарата нечетких множеств Л. Заде. Дело в том, что математический аппарат нечетких множеств не позволяет в должной мере учитывать различные варианты зависимости между понятиями (объектами), моделируемыми с его помощью, не является достаточно гибким. Так, для описания "общей части" двух нечетких множеств есть лишь две операции - произведение и пересечение. Если применяется первая из них, то фактически предполагается, что множества ведут себя как проекции независимых случайных множеств (см. выше теорему 6). Операция пересечения также накладыва ет вполне определенные ограничения на вид зависимости между множествами (см. выше теорему 7), причем в этом случае найдены даже необходимые и достаточные условия. Желательно иметь более широкие возможности для моделирования зависимости между множествами (понятиями, объектами). Использование математического аппарата случайных множеств предоставляет такие возможности.

Цель сведения нечетких множеств к случайным состоит в том, чтобы за любой конструкцией из нечетких множеств видеть конструкцию из случайных множеств, определяющую свойства первой, аналогично тому, как плотностью распределения вероятностей мы видим случайную величину. В настоящем пункте приводим результаты по сведению алгебры нечетких множеств к алгебре случайных множеств.

Определение 4. Вероятностное пространство \{\Omega, G, P\} назовем делимым, если для любого измеримого множества X \in G и любого положительного числа \alpha, меньшего Р(Х) , можно указать измеримое множество Y \subset X такое, что P(Y)= \alpha

Пример. Пусть \Omega - единичный куб конечномерного линейного пространства, G есть сигма-алгебра борелевских множеств, а P - мера Лебега. Тогда \{\Omega, G, P\} - делимое вероятностное пространство.

Таким образом, делимое вероятностное пространство - это не экзотика. Обычный куб является примером такого пространства.

Доказательство сформулированного в примере утверждения проводится стандартными математическими приемами, основанными на том, что измеримое множество можно сколь угодно точно приблизить открытыми множествами, последние представляются в виде суммы не более чем счетного числа открытых шаров, а для шаров делимость проверяется непосредственно (от шара Х тело объема \alpha < P(X) отделяется соответствующей плоскостью).

Теорема 8. Пусть даны случайное множество А на делимом вероятностном пространстве \{\Omega, G, P\} со значениями во множестве всех подмножеств множества У из конечного числа элементов, и нечеткое множество D на У. Тогда существуют случайные множества С_1, С_2, С_3, С_4 на том же вероятностном пространстве такие, что

Proj (A \bigcapC_1)=B \bigcap D, Proj(A \bigcap C_2)=BD, Proj(A \bigcup C_3)=B \bigcup D,\\
Proj (A \bigcup C_4) B+D, Proj C_i=D, i=1,2,3,4

где B = Proj A.

Доказательство. В силу справедливости законов де Моргана для нечетких (см. теорему 1 выше) и для случайных множеств, а также теоремы 5 выше (об отрицаниях) достаточно доказать существование случайных множеств С_1 и С_2.

Рассмотрим распределение вероятностей во множестве всех подмножеств множества У, соответствующее случайному множеству С такому, что Proj C = D (оно существует в силу теоремы 3). Построим случайное множество С_2 с указанным распределением, независимое от А. Тогда Proj (A\bigcap C_2)=BD по теореме 6.

Перейдем к построению случайного множества С_1. По теореме 7 необходимо и достаточно определить случайное множество C_1(\omega) так, чтобы Proj C_1 = D и пересечение носителей случайных множеств A \bigcap \bar {C_1} и \bar A \bigcap C_1 было пусто, т.е. p_3=P(y \in \bigcap \bar {C_1})=0 для y \in Y_1=\{y \colon \mu_B(y) \le \mu_D(y)\} и p_2=P(y \in \bar A \bigcap C_1)=0 для y \in Y_2= \{y \colon \mu_B(y) \ge \mu_D(y)\}.

Построим C_1(\omega), исходя из заданного случайного множества A(\omega) Пусть y_1 \in Y_2. Исключим элемент y_1 из A(\omega) для стольких элементарных событий \omega, чтобы для полученного случайного множества A_1(\omega) было справедливо равенство

P(y_1 \in A_1)= \mu_D(y_1)

(именно здесь используется делимость вероятностного пространства, на котором задано случайное множество A(\omega) ). Для y \ne y_1, очевидно,

p(y \in A_1)= P(y \in A)

Аналогичным образом последовательно исключаем у из A(\omega) для всех y \in Y_2 и добавляем у в A(\omega) для всех y \in Y_1, меняя на каждом шагу P(y \in A_i) только для y=y_1 так, чтобы

P(y_1 \in A_i)= \mu_D(y_1)

(ясно, что при рассмотрении y_1 \in Y_1 \bigcap  Y_2 случайное множество A_i(\omega) не меняется). Перебрав все элементы У, получим случайное множество A_k(\omega)=C_1(\omega), для которого выполнено требуемое. Теорема 8 доказана.

Основной результат о сведении теории нечетких множеств к теории случайных множеств дается следующей теоремой.

Теорема 9. Пусть B_1, B_2, B_3, \dots, B_t - некоторые нечеткие подмножества множества У из конечного числа элементов. Рассмотрим результаты последовательного выполнения теоретико-множественных операций

B^m=(( \dots ((B_1 \circ B_2) \circ B_3) \circ \dots) \circ B_{m-1}) \circ B_m, m=1,2,\dots, t

где - символ одной из следующих теоретико-множественных операций над нечеткими множествами: пересечение, произведение, объединение, сумма (на разных местах могут стоять разные символы). Тогда существуют случайные подмножества A_1, A_2, A_3, \dots, A_t того же множества У такие, что

Proj A_i=B_i, i=1,2,\dots, t

и, кроме того, результаты теоретико-множественных операций связаны аналогичными соотношениями

Proj \{((\dots ((A_1 \otimes A_2) \otimes A_3) \otimes \dots) \otimes A_{m-1}) \otimes A_m\}=B^m, m=1,2, \dots, t

где знак \otimes означает, что на рассматриваемом месте стоит символ пересечения \bigcap случайных множеств, если в определении B^m стоит символ пересечения или символ произведения нечетких множеств, и соответственно символ объединения \bigcup случайных множеств, если в B^m стоит символ объединения или символ суммы нечетких множеств.

Комментарий. Поясним содержание теоремы. Например, если

B^5=(((B_1+B_2) \bigcap B_3)B_4) \bigcup B_5

то

(((A_2 \otimes A_2) \otimes A_3) \otimes A_4) \otimes A_5=(((A_1 \bigcup A_2) \bigcap A_3) \bigcap A_4) \bigcup A_5

Как совместить справедливость дистрибутивного закона для случайных множеств (вытекающего из его справедливости для обычных множеств) с теоремой 2 выше, в которой показано, что для нечетких множеств, вообще говоря, (B_1+B_2)B_3 \ne B_1B_3+B_2B_3? Дело в том, что хотя в соответствии с теоремой 9 для любых трех нечетких множеств В_1, В_2 и В_3 можно указать три случайных множества А_1, А_2 и А_3 такие, что

Proj(A_i)=B_i, i=1,2,3,\\
Proj(A_1 \bigcup A_2)=B_1+B_2,\\
Proj((A_1 \bigcup A_2) \bigcap A_3)=B_3

где

B^3=(B_1+B_2)B_3

но при этом, вообще говоря,

Proj(A_1 \bigcap A_3) \ne B_1B_3

и, кроме случаев, указанных в теореме 2,

Proj((A_1 \bigcup A_2) \bigcap A_3) \ne B_1B_3+B_2B_3

Доказательство теоремы 9 проводится по индукции. При t=1 распределение случайного множества строится с помощью теоремы 3. Затем конструируется само случайное множество А_1, определенное на делимом вероятностном пространстве (нетрудно проверить, что на делимом вероятностном пространстве можно построить случайное подмножество конечного множества с любым заданным распределением именно в силу делимости пространства). Далее случайные множества А_2, А_3, \dots, A_t строим по индукции с помощью теоремы 8. Теорема 9 доказана.

Замечание. Проведенное доказательство теоремы 9 проходит и в случае, когда при определении B^m используются отрицания, точнее, кроме B^m ранее введенного вида используются также последовательности результатов теоретико-множественных операций, очередной шаг в которых имеет вид

B_1^m= \overline {B^{m-1}} \circ B_m, B_2^m= B_{m-1} \circ \overline {B_m}, B_3^m= \overline {B^{m-1}} \circ  \overline {B_m}

А именно, сначала при помощи законов де Моргана (теорема 1 выше) проводится преобразование, в результате которого в последовательности B^m остаются только отрицания отдельных подмножеств из совокупности B_1, B_2, B_3, \dots, B_t, а затем с помощью теоремы 5 вообще удается избавиться от отрицаний и вернуться к условиям теоремы 9.

Итак, в настоящем приложении описаны связи между такими объектами нечисловой природы, как нечеткие и случайные множества, установленные в нашей стране в первой половине 1970-х годов. Через несколько лет, а именно, в начале 1980-х годов, близкие подходы стали развиваться и за рубежом. Одна из работ [6] носит примечательное название "Нечеткие множества как классы эквивалентности случайных множеств".

В эконометрике разработан ряд методов статистического анализа нечетких данных, в том числе методы классификации, регрессии, проверки гипотез о совпадении функций принадлежности по опытным данным и т.д., при этом оказались полезными общие подходы статистики объектов нечисловой природы (см. "Статистика нечисловых данных" и работы [1],[2],[5]). Методологические и прикладные вопросы теории нечеткости мы обсуждали в работах [1], [2], [7].

Дмитрий Лямин
Дмитрий Лямин
Анна Корнева
Анна Корнева

Подскажите, пожалуйста, помимо самого обучения 1 руб. и отправки диплома по почте (за пересылку), ещё нужно платить за оформление самого диплома или удостоверения?

Ирина Симонян
Ирина Симонян
Армения, Ереван, ЕГУ, 1998
Дмитрий Степаненко
Дмитрий Степаненко
Россия