Приложение 2: Основные положения теории вероятностей

Числовые характеристики случайных величин

Описание случайной величины с помощью функции распределения является исчерпывающим, но для практических задач излишне подробным и не всегда удобным. Часто в приложениях бывает достаточно характеризовать свойства случайной величины посредством некоторого числа, т.е. перейти к числовым характеристикам.

Математическим ожиданием (средним значением) дискретной случайной величины называется величина

Для непрерывной случайной величины, заданной плотностью распределения, математическое ожидание вычисляется как

Основные свойства математического ожидания:

• , где - неслучайная величина;
• ;
• ;
• , если и некоррелированные случайные величины.

Математическое ожидание характеризует центр группирования значений случайной величины. Характеристикой рассеяния случайной величины относительно центра распределения служит дисперсия, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины: , или после преобразований . Для вычисления дисперсии в случае дискретной величины можно использовать, например, формулу

а в случае непрерывной случайной величины —

Основные свойства дисперсии:

• , где - неслучайная величина;
• ;
• , если и некоррелированные случайные величины.

Среднеквадратическое (стандартное) отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии:

Мерой взаимосвязи двух случайных величин и может служить коэффициент ковариации, численно равный величине

или аналогично вычислению дисперсии,

Основным свойством коэффициента ковариации является его равенство нулю в случае независимости случайных величин и . (При этом обратное утверждение, вообще говоря, неверно!) Однако зависимость величины от масштаба измерения величин и делает неудобным его использование в практических приложениях. Поэтому в качестве меры связи признаков обычно используют другую числовую характеристику , называемую коэффициентом корреляции

Следующие свойства коэффициента корреляции являются наиболее существенными:

• (абсолютное значение коэффициента корреляции не превосходит единицы);
• только в том случае, когда случайные величины и связаны линейной зависимостью;
• если и - независимые величины, то . В этом случае говорят, что эти величины не коррелируют;
• величина \rho XY инвариантна относительно линейных преобразований.

В случае многомерных случайных величин в рассмотрение вводятся соответствующие аналоги. Так, если , то вектором средних значений называют вектор , который является характеристикой центра группирования. В качестве меры рассеяния компонент и их взаимосвязи используют матрицу ковариаций

элементы которой определяются равенством . Определитель этой матрицы называется обобщенной дисперсией. По причине, указанной выше, в практических приложениях предпочитают использовать матрицу, составленную из коэффициентов корреляции, , — корреляционную матрицу. Аналогичным образом определяется взаимосвязь многомерных случайных величин и .