Приложение 1: Векторное пространство

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), обозначаемое как () (или просто ) и определяемое соотношением

Основными свойствами этой операции являются:

1. симметрия ;
2. дистрибутивность ;
3. для любого вещественного ;
4. , причем тогда и только тогда, когда .

Величина  называется модулем(длиной)вектора x.

Для любых двух векторов и справедливо неравенство Коши-Буняковского .

Векторы и называются коллинеарными, если . Практически это означает, что координаты этих векторов пропорциональны.

Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: .

Вещественное линейное пространство называется евклидовым пространством, если в нем определено скалярное произведение элементов. В евклидовом пространстве удобно использовать базис , все элементы которого взаимно ортогональны и имеют единичную длину, т.е.

где - символ Кронекера.

Такие базисы называются ортонормированными и существуют в любом евклидовом пространстве. В ортонормированном базисе координаты вектора можно представить в виде , а разложение вектора по базису как

Введение в рассмотрение скалярного произведения позволяет в дальнейшем использовать такие геометрически содержательные понятия, как ортогональность, угол и длина. Эти свойства широко используются при объяснении (обосновании и изложении) метода наименьших квадратов (МНК), в частности, при получении системы нормальных уравнений, а также для объяснения свойств МНК-оценок.