НОУ ИНТУИТ | Введение в эконометрику. Лекция 9: Разностные уравнения и их решение

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 10.09.2016 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 27 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

9.2. Системы разностных уравнений более высокого порядка

Тот же метод может быть использован для решения однородных систем разностных уравнений более высокого порядка.

Однородное разностное уравнение для (9.2) имеет вид

(9.12)

Здесь также можно ожидать, что каждое решение (9.12) представимо в виде $y_{t}^{одн} = C\alpha _{1}^{T}$ где - произвольная постоянная. Чтобы найти возможные значения $\alpha$ , решим уравнение

После деления обеих его частей на $A\alpha ^{t-n}$ , получаем:

$\alpha ^{n} - a_{1}\alpha ^{n-1} - a_{2}\alpha ^{n-2} -\dots - \alpha _{n} = 0.$

Многочлен -го порядка, стоящий в левой части последнего равенства, имеет корней $\alpha _{1}, \alpha _{2}, \dots, \alpha _{n}$ . Можно показать, что линейная комбинация решений уравнения (9.12)

$A_{1}\alpha _{1}^{T} + A_{2}\alpha _{2}^{T} + \dots + A_{n}\alpha _{n}^{T} .$

будет также его решением. Произвольные постоянные $A_{1}, \dots, A_{n}$ вычисляются подстановкой начальных условий в общее решение. Числа $\alpha _{1}, \alpha _{2}, \dots, \alpha _{n}$ могут быть как действительными, так и комплексными. Условия устойчивости (отсутствие роста решения до бесконечности) требуют, чтобы действительные характеристические корни были по абсолютной величине меньше единицы. Для комплексных корней условие устойчивости заключается в том, чтобы все они находились внутри единичного круга комплексной плоскости. Необходимым условием нахождения характеристических корней в единичном круге является выполнение соотношения Достаточным условием нахождения характеристических корней в единичном круге является выполнение соотношения По крайней мере один из характеристических корней равен единице, если

Нахождение частных решений

1. Пусть в (9.2) $x_{t} = 0$ . Тогда $y_{t} = a_{0} + a_{1}y_{t} - 1 + a_{2}y_{t} - 2 +\dots + a_{n}y_{t} - n$ . Попробуем частное решение найти в виде постоянной. Подставляя $y_{t} = C$ , получаем

$C = a_{0} + a_{1}C + a_{2}C +\dots + a_{n}C.$

Если $1 - a_{1} - a_{2} -\dots - a_{n} \ne 0$ , то решение найдено. Если же $1 - a_{1} - a_{2} -\dots - a_{n} = 0$ , то не определяется. В этом случае попытаемся найти частное решение в другом виде. Вспомним, что в данной ситуации и $y_{t}$ - расходящаяся последовательность. Попробуем получить решение в виде линейной функции (тренда) от времени , т.е. в виде $y_{t} = C_{t}$ . Получаем уравнение

$C_{t} = a_{0} + a_{1}C(t - 1) +\dots + a_{n}C(t - n).$

Раскрыв скобки, имеем:

$(1 - a_{1} - a_{2} -\dots - a_{n})C_{t} = a_{0} - C(a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} +\dots + na_{n}).$

Учитывая, что $1 - a_{1} - a_{2} -\dots - a_{n} = 0$ , в случае $a_{1} + 2a_{2} + 3a_{3} +\dots + na_{n} \ne 0$ получаем решение

В противном случае ищем решение в виде функций: Для уравнения -го порядка одна из этих функций обязательно будет частным решением.

2. Пусть в (9.2) $x_{t}$ имеет экспоненциальную форму $x_{t} = сq^{rt}$ . Частное решение ищут в виде $y_{t} = С_{0} + С_{1}q^{rt}$ , где $С_{0}$ и $С_{1}$ являются константами. Подставляя в уравнение это предполагаемое решение, получаем

$С_{0} + С_{1}q^{rt} = a_{0} + a_{1}[С_{0} + С_{1}q^{r(t - 1)}] + сq^{rt}.$

Приравнивая соответствующие слагаемые (константы приравниваем константам, слагаемые с ростом r в левой части равенства - слагаемым с тем же ростом в правой части равенства), получаем частное решение в виде

(9.13)

Отметим, что при $|q^{r}| < 1$ решение (9.13) сходится с ростом к постоянной

Если $a_{1} = 1$ , то выбираем $С_{0} = C_{t}$ , а если $a_{1} = q^{r}$ , то

3. Пусть $x_{t} = ct p$ , где - константа, а - положительное целое число. Следовательно,

(9.14)

Частное решение следует искать в виде общего многочлена степени от времени :

$y_{t} = C_{0} + C_{1}t + C_{2}t_{2} +\dots + C_{p}t_{p}.$

(9.15)

Чтобы найти коэффициенты $C_{i}$ , подставим (9.15) в (9.14). В полученном равенстве надо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях и получить равенства для определения $C_{0}, C_{1}, \dots, C_{p}$ . Для простоты предположим, что p = 1 (этого достаточно для подавляющего большинства экономических приложений), и рассмотрим разностное уравнение второго порядка $y_{t} = a_{0} + a_{1}y_{t }- 1 + a_{2}y_{t-2} + сt$ . Частное решение представим в виде $y_{t} = C_{0} + C_{1}t$ . Подставляя частное решение в уравнение, имеем:

$C_{0} + C_{1}t = a_{0} + a_{1}[C_{0} + C_{1}(t - 1)] + a_{2}[C_{0} + C_{1}(t - 2)] + ct.$

Приравнивая слева и справа постоянные и члены с множителем , получаем:

Если $a_{1} + a_{2} = 1$ , то нужно умножить частное решение на и искать коэффициенты $C_{0}$ и $C_{1}$ тем же способом.

Рассмотрим пример, в котором разностные уравнения используются для изучения эффекта взаимодействия потребительского спроса и спроса на инвестиции.

Изучается односекторная модель экономики, в которой существуют три составные части общего спроса: потребительский спрос, спрос на инвестиции и правительственные расходы.

Пусть потребление в год с номером обозначено через C(t) и линейно зависит от дохода в предыдущий период y(t - 1) :

Ожидаемый общий спрос в году (t + 1) обозначим y^*(t + 1) . Пусть оптимальное соотношение "капитал - выпуск" равно . Тогда количество капитала, требуемого для удовлетворения ожидаемого общего спроса, равно ry^*(t + 1) . Следовательно, к началу (t + 1) -го года количество капитала составит

Инвестиции в течение года должны контролировать процесс накопления капитала от k(t) в начальный период года до k(t + 1) , требуемого в начальный период (t + 1) -го года. Если игнорировать амортизацию капитала, то инвестиции в год равны

поэтому

Предположим, что существует запаздывание (лаг) величиной в один год между заказом на инвестиции и их выполнением, т.е. те капиталовложения, которые готовы приносить отдачу в период , должны быть заказаны в период (t - 1) , когда известно только значение общего спроса y^*(t - 1) .

Предположим, что ожидаемый общий спрос в будущем y^*(t + 1) приравнивается известному общему спросу в настоящий момент, т.е.:

Отсюда

Допустим, правительственные расходы не изменяются от периода к периоду, т.е.:

Предположения (a), (b), (c) в совокупности дают общий спрос в период . Предполагая, что общий спрос равен общему доходу, получаем:

y(t) = cy(t - 1) + r[y(t - 1) - y(t - 2)] + b + G.

После упрощений имеем:

(9.16)

где F = b + G - экзогенная (внешняя), не зависящая от времени постоянная.

Выражение (9.16) является линейным неоднородным разностным уравнением второго порядка. Характеристическое уравнение для него имеет вид

$\alpha ^{2} - (с + r) \u03b1 + r = 0.$

(9.17)

Прежде всего напомним, что частное решение при постоянной правой части F = b + G равно

Далее рассмотрим три случая.

Случай 1. $D = (c + r)^{2} - 4r > 0$ . Здесь $c > 2\sqrt{r} - r$ . Тогда общее решение однородного уравнения

имеет вид

$yt = C1(\alpha _{1})^{T} + C_{2}(\alpha _{2})^{T},$

где

$C_{1}$ и $C_{2}$	-	произвольные постоянные;
	-	действительные различные числа.

Представим общее решение:

Если $|a_{1}| < 1$ и $|a_{2}| < 1,$ то с течением времени общий доход $y_{t}$ стремится к величине Но если хотя бы один из корней $\alpha_{1}$ или $\alpha_{2}$ по абсолютной величине превышает 1 и начальные условия таковы, что $С_{1}$ и $С_{2}$ не равны нулю, то с течением времени будет наблюдаться рост дохода.

Случай 2. D = 0 , тогда $(c + r)^{2} = 4r$ , или $c = 2\sqrt{r}- r.$ В этом случае

C течением времени при $С_{2} \ne 0$ может наблюдаться некоторый рост общего дохода. Однако множитель $r^{t/2}$ при $t \to \infty$ , и доход стабилизируется, приближаясь к

Случай 3. D = (c + r)2 - 4r < 0, или $c < 2\sqrt{r} - r$ . В этом случае общее решение можно получить либо с использованием комплексных корней характеристического уравнения

либо, обращаясь к теореме Муавра о представлении комплексных чисел, - в тригонометрическом виде

Рассмотрим пример. Пусть доля общего дохода, идущего на потребление (предельная склонность к потреблению), с = 0,5 , а отношение "капитал - выпуск" r = 5 . Кроме того, правительственные расходы G = 12 и постоянный потребительский спрос b = 4 . Найдем доход в течение последующих периодов времени, если начальный доход $y_{0} = 26$ , а доход после первого года $y_{1} = 28$ .

Выпишем характеристическое уравнение (9.17)

$\alpha ^{2} - 5,5\alpha + 5,0 = 0.$

Решая его, получаем $\alpha _{1} \approx 4,35; \alpha _{2} \approx 1,15$ .

Представим общее решение разностного уравнения в виде

$y_{t} = A_{1}(4,35)^{T} + A_{2}(1,15)^{T} + 32.$

C учетом начальных условий находим $A_{1}$ и $A_{2}$ . Получаем систему

Отсюда $A_{1} \approx 0,91; A_{2} \approx -6,91$ . Исходя из этого решение принимает вид

$y_{t} = (0,91)(4,35)^{T} - (6,91)(1,15)^{T} + 32.$

Очевидно, что для больших значений рост будет в основном определяться первым слагаемым.

Контрольные вопросы

Как определить первую разность для функции ?
Запишите линейное неоднородное разностное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами.
Как свести модель Кейнса - Самуэльсона производства и потребления к линейному неоднородному разностному уравнению для производственной функции ?
Выпишите модель случайных блужданий (random walk model).
Как получить решение неоднородного разностного уравнения первого порядка методом итераций?
Запишите характеристическое уравнение для однородного разностного уравнения второго порядка.
Рассмотрите три случая построения решений для однородных разностных уравнений второго порядка.
Рассмотрите три случая построения частных решений для неоднородного разностного уравнения второго порядка.
Сформулируйте условия устойчивости (решение не стремится к бесконечности) для разностных уравнений различных порядков.
Рассмотрите два случая:
1. . Остальные предположения оставьте теми же, что в численном примере (п. 9.2);
2. ; при , при внешний спрос .