НОУ ИНТУИТ | Теория и реализация языков программирования. Лекция 3: Языки и их представление

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

|

Вам нравится? Нравится 18 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Линейно-ограниченные автоматы и их связь с контекстно-зависимыми грамматиками

Каждый КЗ-язык является рекурсивным, но обратное не верно. Покажем что существует алгоритм, позволяющий для произвольного КЗ-языка L в алфавите T, и произвольной цепочки $w \in T^*$ определить, принадлежит ли w языку L.

Теорема 2.6. Каждый контекстно-зависимый язык является рекурсивным языком.

Доказательство. Пусть L - контекстно-зависимый язык. Тогда существует некоторая неукорачивающая грамматика G = (N, T, P, S), порождающая L.

Пусть $w \in T^* и \mid \!w \! \mid = n$ . Если n = 0, то есть w = e, то принадлежность $w \in L$ проверяется тривиальным образом. Так что будем предполагать, что n > 0.

Определим множество Tm как множество строк $u \in (N \cup T)^+$ длины не более n таких, что вывод $S \Rightarrow^* \; u$ имеет не более m шагов. Ясно, что T₀ = {S}.

Легко показать, что T_m можно получить из T_m-1 просматривая, какие строки с длиной, меньшей или равной n можно вывести из строк из T_m-1 применением одного правила, то есть

$T_m=T_{m-1} \cup \{u \mid v \Rightarrow для \; некоторого \; v \in T_{m-1}, \;где \mid \! u \! \mid \leq n \}$

Если $S\Rightarrow^* \; u$ и $\mid \!u \! \mid \leq n, \; то \; u \in T_m$ для некоторого m. Если из S не выводится u или |u| > n, то u не принадлежит T_m ни для какого m.

Очевидно, что $T_m \subseteq T_{m-1}$ для всех m > 1. Поскольку T_m зависит только от T_m-1, если Tm = T_m-1, то T_m = T_m+1 = T_m+2 = .... Процедура будет вычислять T₁, T₂, T₃, . .. пока для некоторого m не окажется T_m = T_m-1. Если w не принадлежит T_m, то не принадлежит и L(G), поскольку для j > m выполнено T_j = T_m. Если $w \in T_m$ , то $S \Rightarrow^* w$ .

Покажем, что существует такое m, что T_m = T m-1. Поскольку для каждого i > 1 справедливо $T_i \supseteq T_{i-1}$ , то если $T_i \neq T_{i-1}$ , то число элементов в T_i по крайней мере на 1 больше, чем в T_i-1. Пусть $\mid \! N \cup T \! \mid = k$ . Тогда число строк в $( N \cup T )^+$ длины меньшей или равной n равно $k+k^2+ \ldots +k^n \leq nk^n$ . Только эти строки могут быть в любом T_i. Значит, T_m = T_m-1 для некоторого $m \leq nk^n$ . Таким образом, процедура, вычисляющая T_i для всех $i \geq 1$ до тех пор, пока не будут найдены два равных множества, гарантированно заканчивается, значит, это алгоритм.

Линейно-ограниченный автомат (ЛОА) - это недетерминированная машина Тьюринга с одной лентой, которая никогда не выходит за пределы |w| ячеек, где w - вход. Формально, линейно-ограниченный автомат обозначается как $M = (Q, \Sigma, \Gamma, D, q_0, F)$ . Обозначения имеют тот же смысл, что и для машин Тьюринга. Q - это множество состояний, $F \subseteq Q$ - множество заключительных состояний, $\Gamma$ - множество ленточных символов, $\Sigma \subseteq \Gamma$ - множество входных символов, $q_0 \in Q$ - начальное состояние, D - отображение из $Q \times \Gamma$ в подмножество $Q \times \Gamma \times \{ L, R\}$ .

$\Sigma$ содержит два специальных символа, обычно обозначаемых $\copyright$ и $, - левый и правый концевые маркеры, соответственно. Эти символы располагаются сначала по концам входа и их функция - предотвратить переход головки за пределы области, в которой расположен вход.

Конфигурация M и отношение $\vdash M$ , связывающее две конфигурации, если вторая может быть получена из первой применением D, определяются так же, как и для машин Тьюринга. Конфигурация M обозначается как

(q,A₁A₂,...,A_n,i) где $q \in Q, \; A_1,A_2, \ldots ,A_n \in \Gamma, i$ -целое от 1 до n. Предположим, что $(p,A,L) \in D(q,A_i)$ и i > 1

Будем говорить, что

$(q,A_1,A_2 \ldots A_n,i)\vdash_M (p,A_1,A_2 \ldots A_{i-1}AA_{i+1} \ldots A_n,i-1)$

$(p,A,R) \in D(q,A_i)$ и i < n, будем говорить, что

$(q,A_1,A_2 \ldots A_n,i)\vdash_M (p,A_1,A_2 \ldots A_{i-1}AA_{i+1} \ldots A_n,i+1)$

То есть M печатает A поверх A_i, меняет состояние на p и передвигает головку влево или вправо, но не за пределы области, в которой символы располагались исходно. Как обычно, определим отношение $\vdash *_M$ как

$(q, \alpha , i )\vdash *_M (q, \alpha , i )$ и

Если $(q_1, \alpha_1 , i_1 )\vdash *_M (q_2, \alpha_2 , i_2 )$ и $(q_2, \alpha_2 , i_2 )\vdash *_M (q_3, \alpha_3 , i_3 )$ ,

то $(q_1, \alpha_1 , i_1 )\vdash *_M (q_3, \alpha_3 , i_3 )$

Язык, допускаемый M - это $\{w \mid w \in (\Sigma \ \{ \copyright, \$ \})^*$ и $(q_0,\copyright w \$, 1) \vdash * (q, \alpha , i)$ для некоторого $q \in F, \alpha \in \Gamma^*$ и целого i}.

Будем называть M детерминированным, если D(q, A) содержит не более одного элемента для любых $q \in Q, A \in \Gamma$ . Не известно, совпадает ли класс множеств, допускаемых детерминированными и недетеминированными ЛОА. Ясно, что любое множество, допускаемое недетерминированным ЛОА, допускается некоторой детерминированной МТ. Однако, число ячеек ленты, требуемой этой МТ, может экспоненциально зависеть от длины входа.

Класс множеств, допускаемых ЛОА, в точности совпадает с классом контекстно - зависимых языков.

Теорема 2.7. Если L - контекстно-зависимый язык, то L допускается ЛОА.

Доказательство. Пусть G = (V_N, V_T, P, S) - контекстно- зависимая грамматика. Построим ЛОА M такой, что он допускает язык L(G). Не вдаваясь в детали построения M, поскольку он довольно сложен, рассмотрим схему его работы. В качестве ленточных символов будем рассматривать пары $(s^1_i,s^2_i), \; \text{где} \; s^1_i \in \Sigma, \;\Sigma= V_T \cup \{@,\$ \}, \; s^2_i \; \in \Gamma, \; \Gamma = V_T \cup V_N \cup \{B \}$ В начальной конфигурации лента содержит (@, B), (a₁, B), ... (a_n, B), ($, B), где a¹ ... a_n = w - входная цепочка, n=|w|. Цепочку символов $s^1_1 \ldots s^1_n$ n будем называть " первым треком ", $s^2_1 \ldots s^2_n$ n - " вторым треком ". Первый трек будет содержать входную строку x с концевыми маркерами. Второй трек будет использоваться для вычислений. На первом шаге M помещает символ S в самой левой ячейке второго трека. Затем M выполняет процедуру генерации в соответствии со следующими шагами:

Процедура выбирает подстроку символов $\alpha$ из второго трека такую, что $\alpha \rightarrow \beta \in P$ .
Подстрока $\alpha$ заменяется на $\beta,$ перемещая, если необходимо, вправо символы справа от $\alpha$ . Если эта операция могла бы привести к перемещению символа за правый концевой маркер, ЛОА останавливается.
Процедура недетерминированно выбирает перейти на шаг 1 или завершиться.

На выходе из процедуры первый трек все еще содержит строку x, а второй трек содержит строку $\gamma$ такую, что $S \Rightarrow_G^*G \; \gamma$ ЛОА сравнивает символы первого трека с соответствующими символами второго трека. Если сравнение неуспешно, строки символов первого и второго треков не одинаковы и ЛОА останавливается без допуска. Если строки одинаковы, ЛОА останавливается и допускает.

Если $x \; \in \; L(G)$ , то существует некоторая последовательность шагов, на которой ЛОА строит x на втором треке и допускает вход. Аналогично, для того, чтобы ЛОА допустил x, должна существовать последовательность шагов такая, что x может быть построен на втором треке. Таким образом, должен быть вывод x из S в G.

Отметим схожесть этих рассуждений и рассуждений в случае произвольной грамматики. Тогда промежуточные сентенциальные формы могли иметь длину, произвольно большую по сравнению с длиной входа. Как следствие, требовалась вся мощь машин Тьюринга. В случае контекстно- зависимых грамматик промежуточные сентенциальные формы не могут быть длиннее входа.

Теорема 2.8. Если L допускается ЛОА, то L - контекстно - зависимый язык.

Доказательство. Конструкция КЗГ по ЛОА аналогична конструкции грамматики типа 0, моделирующей машину Тьюринга. Различие заключатся в том, что нетерминалы КЗГ должны указывать не только текущее и исходное содержимое ячеек ленты ЛОА, но и то, является ли ячейка соседней справа или слева с концевым маркером. Кроме того, состояние ЛОА должно комбинироваться с символом под головкой, поскольку КЗГ не может иметь раздельные символы для концевых маркеров и состояния ЛОА, так как эти символы должны были бы быть заменены на e, когда строка превращается в терминальную.

Теорема 2.9. Существуют рекурсивные множества, не являющиеся контекстно - зависимыми.

Доказательство. Все строки в {0,1}^* можно занумеровать. Пусть x_i - i -ое слово. Мы можем занумеровать все грамматики типа 0, терминальными символами которых являются 0 и 1. Поскольку имена переменных не важны и каждая грамматика имеет конечное их число, можно предположить, что существует счетное число переменных.

Представим переменные в двоичной кодировке как 01, 011, 0111, 01111 и т.д. Предположим, что 01 всегда является стартовым символом. Кроме того, в этой кодировке терминал 0 будет представляться как 00, а терминал 1 как 001. Символ " -> " представляется как 0011, а запятая как 00111. Любая грамматика с терминалами 0 и 1 может быть представлена строкой правил, использующей стрелку (0011) для разделения левой и правой частей, и запятой (00111) для разделения правил. Строки, представляющие символы, используемые в правилах, - это 00, 001 и 01ⁱ для i = 1, 2, ... Множество используемых переменных определяется неявно правилами.

Отметим, что не все строки из 0 и 1 представляют грамматики, и не обязательно КЗГ. Однако, по данной строке легко можно сказать, представляет ли она КЗГ. i - ю грамматику можно найти, генерируя двоичные строки в описанном порядке пока не сгенерируется i -я строка, являющаяся КЗГ. Поскольку имеется бесконечное число КЗГ, их можно занумеровать в некотором порядке G₁, G₂, ...

Определим $L = \{ x_{i}|x_{i} \notin L(G_{i})\}$ . L рекурсивно. По строке x_i легко можно определить i и затем определить G_i. По теореме 2.6. имеется алгоритм, определяющий для x_i принадлежит ли он L(G_i), поскольку G_i КЗГ. Таким образом имеется алгоритм для определения для любого x принадлежит ли он G.

Покажем теперь, что L не генерируется никакой КЗ-грамматикой. Предположим, что L генерируется КЗ- грамматикой G_i. Во-первых, предположим, что $x_i \in L$ . Поскольку $L(G_i) = L, x_i \in L(G_i)$ . Но тогда по определению $xi \notin L(G_{i})$ - противоречие. Таким образом предположим, что $x_{i} \notin L$ . Поскольку $L(G_{i}) = L, x_{i} \notin L(G_{i})$ . Но тогда по определению $x_i \in L(G_i)$ - снова противоречие. Из чего можно заключить, что L не генерируется G_i. Поскольку приведенный выше аргумент справедлив для каждой КЗ- грамматики G_i в перечислении, и поскольку перечисление содержит все КЗ-грамматики, можно заключить, что L не КЗ-язык. Поэтому L - рекурсивное множество, не являющееся контекстно-зависимым.