Параллельные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных

Дифференциальные уравнения в частных производных представляют собой широко применяемый математический аппарат при разработке моделей в самых разных областях науки и техники. К сожалению, явное решение этих уравнений в аналитическом виде оказывается возможным только в частных простых случаях, и, как результат, возможность анализа математических моделей, построенных на основе дифференциальных уравнений, обеспечивается при помощи приближенных численных методов решения.

Объем выполняемых при этом вычислений обычно является значительным, и использование высокопроизводительных вычислительных систем традиционно для данной области вычислительной математики.

Проблематика численного решения дифференциальных уравнений в частных производных является областью интенсивных исследований.

Рассмотрим в качестве учебного примера проблему численного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона, которая определяется как задача нахождения функции u=u(x,y), удовлетворяющей в области определения D уравнению

Для простоты изложения материала в качестве области задания D функции u(x,y) далее будет использоваться единичный квадрат

11.1. Последовательные методы решения задачи Дирихле

Одним из наиболее распространенных подходов к численному решению дифференциальных уравнений является метод конечных разностей ( метод сеток ) (см., например, [ [ 6 ] , [ 13 ] , [ 60 ] ]). Следуя этому подходу, область решения D можно представить в виде дискретного (как правило, равномерного) набора ( сетки ) точек ( узлов ). Так, например, прямоугольная сетка в области D может быть задана в виде (рис. 11.1)

Обозначим оцениваемую при подобном дискретном представлении аппроксимацию функции u(x,y) в точках (xi, yj) через u_ij. Тогда, используя пятиточечный шаблон (см. рис. 11.1) для вычисления значений производных, мы можем представить уравнение Пуассона в конечно-разностной форме

Данное уравнение может быть разрешено относительно u_ij:

uij=0,25(ui-1,j+ui+1,j+ui,j-1-h2fij).

Разностное уравнение, записанное в подобной форме, позволяет определять значение u_ij по известным значениям функции u(x,y) в соседних узлах используемого шаблона. Данный результат служит основой для построения различных итерационных схем решения задачи Дирихле, в которых в начале вычислений формируется некоторое приближение для значений u_ij, а затем эти значения последовательно уточняются в соответствии с приведенным соотношением. Так, например, метод Гаусса – Зейделя для проведения итераций уточнения использует правило

Рис. 11.1. Прямоугольная сетка в области D (темные точки представляют внутренние узлы сетки, нумерация узлов в строках слева направо, а в столбцах — сверху вниз)

Рассмотренный алгоритм (метод Гаусса – Зейделя) на псевдокоде, приближенном к алгоритмическому языку С++, может быть представлен в виде:

Алгоритм 11.1. Последовательный алгоритм Гаусса – Зейделя

// Алгоритм 11.1
do {
  dmax = 0; // максимальное изменение значений u
  for ( i=1; i<N+1; i++ )
    for ( j=1; j<N+1; j++ ) {
      temp = u[i][j];
      u[i][j] = 0.25*(u[i-1][j]+u[i+1][j]+
                u[i][j-1]+u[i][j+1]–h*h*f[i][j]);
      dm = fabs(temp-u[i][j]);
      if ( dmax < dm ) dmax = dm;
    }
} while ( dmax > eps );

(напомним, что значения u_ij при индексах i,j=0,N+1 являются граничными, задаются при постановке задачи и не изменяются в ходе вычислений).

Рис. 11.2. Вид функции u(x,y) в примере для задачи Дирихле

Для примера на рис. 11.2 приведен вид функции u(x,y), полученной для задачи Дирихле при следующих граничных условиях:

Общее количество итераций метода Гаусса – Зейделя составило 210 при точности решения eps=0,1 и N=100 (в качестве начального приближения величин u_ij использовались значения, сгенерированные датчиком случайных чисел из диапазона [-100, 100]).