НОУ ИНТУИТ | Практикум по методам построения алгоритмов. Лекция 7: Рекурсия

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 08.04.2009 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

7.4.8. (Для знакомых с основами теории вероятностей). Доказать, что математическое ожидание числа операций при работе этого алгоритма не превосходит Cn log n , причем константа не зависит от сортируемого массива.

Указание. Пусть T(n) - максимум математического ожидания числа операций для всех входов длины . Из текста процедуры вытекает такое неравенство:

$T(n) \le Cn + \frac{1}{n}\sum_{k+l=n-1} \bigl( T(k)+T(l) \bigr)$

Первый член соответствует распределению элементов на меньшие, равные и большие. Второй член - это среднее математическое ожидание для всех вариантов случайного выбора. (Строго говоря, поскольку среди элементов могут быть равные, в правой части вместо T(k)

и

должны стоять максимумы T(x)

по всем

, не превосходящим

или

, но это не мешает дальнейшим рассуждениям.) Далее индукцией по

нужно доказывать оценку $T(n) \le C'n\ln n$ . При этом для вычисления среднего значения x ln x

по всем $x=1,\ldots,n-1$ нужно вычислять $\int_1^n x ln x\,dx$ по частям как $\int ln x \, d(x^2)$ . При достаточно большом

член

в правой части перевешивается за счет интеграла $\int x^2\, d ln x$ , и индуктивный шаг проходит.

7.4.9. Имеется массив из различных целых чисел ${a[1]}\ldots{a[n]}$ и число . Требуется найти -ое по величине число в этом массиве, сделав не более действий, где - некоторая константа, не зависящая от и .

Замечание. Сортировка позволяет очевидным образом сделать это за $Cn\log n$ действий. Очевидный способ: найти наименьший элемент, затем найти второй, затем третий, $\ldots, k$ -ый требует порядка действий, то есть не годится (константа при зависит от ).

Указание. Изящный (хотя практически и бесполезный - константы слишком велики) способ сделать это таков:

А. Разобьем наш массив на n/5 групп, в каждой из которых по элементов. Каждую группу упорядочим.

Б. Рассмотрим средние элементы всех групп и перепишем их в массив из n/5 элементов. С помощью рекурсивного вызова найдем средний по величине элемент этого массива.

В. Сравним этот элемент со всеми элементами исходного массива: они разделятся на большие его и меньшие его (и один равный ему). Подсчитав количество тех и других, мы узнаем, в какой из этих частей должен находится искомый ( -ый) элемент и каков он там по порядку.

Г. Применим рекурсивно наш алгоритм к выбранной части.

Пусть T(n) - максимально возможное число действий, если этот способ применять к массивам из не более чем элементов ( может быть каким угодно). Имеем оценку:

$T(n) \le Cn + T(n/5) + T (\text{примерно 0{,}7n}).$