НОУ ИНТУИТ | Основы теории вычислимых функций. Лекция 6: m-сводимость и свойства перечислимых множеств

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 16.03.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 5 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Перечислимые множества, дополнения которых продуктивны, называются креативными (creative; иногда это слово переводят как " творческие "). Название объясняется так: это множество (точнее, его дополнение) более изобретательно, чем любой алгоритмический процесс: если кто-то предлагает способ порождать некоторые элементы из дополнения, то в ответ можно указать элемент дополнения, который нельзя получить таким способом.

Как мы видим, творческие множества, перечислимые множества с эффективно неперечислимым дополнением и m -полные множества один и тот же класс, и любые два множества из этого класса в некотором смысле изоморфны (отличаются лишь вычислимой перестановкой).

Если множество продуктивно, то можно порождать его элементы следующим индуктивным процессом. На первом шаге имеется пустое множество. Применив к нему продуктивную функцию (е функцию, существующую по определению продуктивного множества), мы получим некоторый элемент. Он образует одноэлементное подмножество. Применив к этому подмножеству продуктивную функцию, получим другой элемент. К полученному двухэлементному подмножеству можно снова применить продуктивную функцию и так далее. Получится бесконечная вычислимая последовательность элементов продуктивного множества. (Это мы уже делали, когда доказывали, что эффективно неперечислимое множество содержит бесконечное перечислимое подмножество.) Но этот индуктивный процесс можно " трансфинитно " продолжить, по крайней мере еще немного: имея перечислимое подмножество нашего продуктивного множества (множество членов последовательности), можно найти еще один элемент продуктивного множества (так сказать, элемент номер $\omega$ ). Добавим его к последовательности, снова применим продуктивную функцию, получится $(\omega +1)$ -ый элемент и так далее, затем получится новая последовательность, $(\omega *2)$ -й элемент, $(\omega *3)$ -й,..., $\omega ^{2}$ -й элемент и т.д.

Но, конечно, получить таким образом алгоритм, перечисляющий продуктивное (и потому неперечислимое) множество, не удастся.

50. Не используя теорему о неподвижной точке (и теорему 42), покажите, что для всякого продуктивного множества A существует всюду определенная вычислимая функция f, для которой $W_{n} \subset A$ влечет $f(n) \in A \setminus W_{n}$ . (Указание: чередуйте W_n с пустым множеством, как это делается при доказательстве леммы к теореме 41.)

Пары неотделимых множеств

В этом разделе мы сформулируем некоторые результаты, касающиеся пар непересекающихся перечислимых множеств. Эти результаты параллельны только что доказанным нами теоремам о m -полноте, продуктивности, эффективной неперечислимости и об изоморфизме m -полных множеств.

Пусть A и B два непересекающихся множества (натуральных чисел). Напомним, что они называются неотделимыми, если не существует разрешимого множества, содержащего одно из них и не пересекающегося с другим. Это определение можно переформулировать так: если W_x и W_y два непересекающихся перечислимых множества, содержащие A и B соответственно, то объединение $W_{x} \cup W_{y}$ содержит не все натуральные числа. (Нам будет удобно обозначать перечислимые множества через W_x и W_y, считая, что W главное универсальное множество.)

Теперь ясно, как можно сформулировать эффективный вариант этого определения. Будем говорить, что непересекающиеся множества A и B эффективно неотделимы, если существует вычислимая функция h с таким свойством: если $A \subset W_{x}$ , $B \subset W_{y}$ и $W_{x} \cap W_{y}=\varnothing$ , то h(x,y) определено и $h(x,y) \notin W_{x} \cup W_{y}$ .

Определение неотделимости можно сформулировать чуть-чуть иначе: не существует вычислимой функции $\varphi _{n}$ , которая была бы всюду определенной, во всех точках множества A равнялась бы нулю, а во всех точках множества B единице. (Будем считать, что $\phi$ главная универсальная функция.) Соответственно изменится и эффективный вариант: множества A и B сильно эффективно неотделимы, если существует всюду определенная вычислимая функция h, которая по любому n указывает точку h(n), в которой функция $\varphi _{n}$ " ошибается ". Ошибка возможна трех видов: либо $\varphi _{n}(h(n))$ не определено, либо $h(n) \in A$ , но $\varphi _{n}(h(n))$ не равно нулю, либо $h(n) \in B$ , но $\varphi _{n}(h(n))$ не равно единице.

51. Покажите, что из сильной эффективной неотделимости вытекает эффективная неотделимость (что оправдывает используемую нами терминологию).

Обратное утверждение также верно, но доказывается несколько сложнее, и мы к нему еще вернемся.

Существуют ли сильно эффективно неотделимые перечислимые множества? Легко понять, что стандартная диагональная конструкция дает пару таких множеств, а именно множества $\{ x | \varphi _{x}(x)=1\}$ и $\{ x | \varphi _{x}(x)=0\}$ , для которых в качестве функции h можно взять тождественную функцию.

52. Проверьте это.

Продолжая нашу аналогию (между множествами и парами), определим понятие m -сводимости для пар. Здесь тоже будет два варианта. Пусть $\langle A,B\rangle$ и $\langle C,D\rangle$ две пары непересекающихся перечислимых множеств ( A не пересекается с B, а C с D ). Будем говорить, что вычислимая всюду определенная функция f m -сводит $\langle A, B\rangle$ к $\langle C,D\rangle$ , если $f(A) \subset C$ и $f(B) \subset D$ .

53. (а) Покажите, что если f сводит $\langle A,B\rangle$ к $\langle C,D\rangle$ и C отделимо от D разрешимым множеством, то и A отделимо от B разрешимым множеством. (б) Покажите, что если f сводит $\langle A,B\rangle$ к $\langle C,D\rangle$ и пара $\langle A,B\rangle$ эффективно неотделима, то и пара $\langle C,D\rangle$ эффективно неотделима. (в) Покажите, что если f сводит $\langle A,B\rangle$ к $\langle C,D\rangle$ и пара $\langle A,B\rangle$ сильно эффективно неотделима, то и пара $\langle C,D\rangle$ сильно эффективно неотделима.

Определение сводимости можно усилить, потребовав дополнительно, чтобы при $x \notin A \cup B$ выполнялось $f(x) \notin C \cup D$ (другими словами, f должна сводить A к C и одновременно B к D ). В этом случае мы будем говорить, что f сильно сводит пару $\langle A,B\rangle$ к паре $\langle C,D\rangle$ .

Теперь мы можем определить m -полноту и сильную m -полноту для пары непересекающихся перечислимых множеств, требуя m -сводимости (соответственно сильной m -сводимости) любой такой пары к данной.

54. Покажите, что если пара является сильно эффективно неотделимой, то она является сильно m -полной. (Указание. Пусть пара $\langle A,B\rangle$ сильно эффективно неотделима, а $\langle K,L\rangle$ любая пара непересекающихся перечислимых множеств. По любому натуральному числу x можно построить вычислимую функцию $\psi _{x}$ с таким свойством: если $x \in K$ , то $\psi _{x}$ всюду определена и отличается от единицы лишь в конечном числе точек, причем все эти точки принадлежат A ; если $x \in L$ , то $\psi _{x}$ всюду определена и отличается от нуля лишь в конечном числе точек, причем все эти точки принадлежат B ; если $x \notin K \cup L$ , то $\psi _{x}$ равна нулю на A и единице на B. Чтобы построить такую функцию, перечисляем K и L ; пока x не обнаружилось в одном из этих множеств, добавляем в график $\psi _{x}$ пары вида $\langle a,0\rangle$ и $\langle b,1\rangle$ ; когда x обнаруживается, перестраиваемся. Далее остается воспользоваться свойствами главной нумерации $\phi$ и сильной эффективной неотделимостью A и B.)

55. Покажите, что всякая m -полная пара является сильно эффективно неотделимой. (Указание: сильно эффективно неотделимая пара существует и к ней сводится.)

Из сформулированных в качестве задач утверждений вытекает, что свойства m -полноты, сильной m -полноты и сильной эффективной неотделимости пар непересекающихся множеств эквивалентны. Можно доказать, что и кажущееся более слабым свойство эффективной неотделимости эквивалентно им. Рассуждение при этом аналогично доказательству теоремы 42 о том, что всякое креативное множество является m -полным. Заметим, что разница между эффективной неотделимостью и сильной эффективной неотделимостью примерно такая же, как между продуктивностью и эффективной неперечислимостью.

56. Пусть $\langle A,B\rangle$ эффективно неотделимая пара непересекающихся перечислимых множеств. Покажите, что она является сильно m -полной. (Указание. Пусть K и L произвольные непересекающиеся перечислимые множества. Пусть h функция из определения эффективной неотделимости (множеств A и B ). С помощью теоремы о неподвижной точке постройте всюду определенные вычислимые функции x(n) и y(n) с такими свойствами: (1) если $n \in K$ , то W_x(n)=A, $W_{y(n)}=B \cup \{ h(x(n),y(n))\}$ ; (2) если $n \in L$ , то $W_{x(n)}=A \cup \{ h(x(n),y(n))\}$ , W_y(n)=B ; (3) если $n \notin K \cup L$ , то W_x(n)=A, W_y(n)=B. Выведите отсюда, что при $n \in K$ значение h(x(n),y(n)) определено и принадлежит A, при $n \in L$ значение h(x(n),y(n)) определено и принадлежит B, а при $n \notin K \cup L$ значение h(x(n),y(n)) определено и лежит вне $A \cup B$ .)

Итак, все четыре сформулированных свойства эквивалентны. Продолжая нашу аналогию, можно доказать изоморфность любых двух пар эффективно неотделимых множеств, для чего предварительно научиться получать сколь угодно много чисел, " эквивалентных " данному с точки зрения пары эффективно неотделимых множеств.

Более точно, пусть имеются непересекающиеся множества A и B. Назовем два числа $\langle A,B\rangle$ -эквивалентными в любом из следующих трех случаев: оба они принадлежат A, оба они принадлежат B или оба они не принадлежат $A \cup B$ . (Таким образом, есть три класса эквивалентности множество A, множество B и остаток.)

57. Пусть $\langle A,B\rangle$ сильно m -полная пара непересекающихся перечислимых множеств. Покажите, что по любому числу k можно алгоритмически получать сколь угодно много различных чисел, которые будут $\langle A,B\rangle$ -эквивалентны k. (Указание: действуйте по аналогии с доказательствами теоремы 22 и леммы к теореме 41.)

58. Пусть $\langle A_1,B_1\rangle$ и $\langle A_2, B_2\rangle$ две сильно m -полные пары непересекающихся перечислимых множеств. Тогда они вычислимо изоморфны в следующем смысле: существует вычислимая перестановка (биекция) i : N -> N, при которой i(A₁)=A₂ и i(B₁)=B₂. (Указание: действуйте по аналогии с доказательствами теорем 23 и 41.)

Дальше >>

Основы теории вычислимых функций

Основы теории вычислимых функций

m-сводимость и свойства перечислимых множеств

Пары неотделимых множеств

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Основы теории вычислимых функций

Основы теории вычислимых функций

m-сводимость и свойства перечислимых множеств

Пары неотделимых множеств

Вопросы и ответы

Студенты