Опубликован: 08.11.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет
Лекция 8:

Алгоритмы рекуррентных соотношений

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >

Случай равных корней характеристического уравнения

Рассмотрим случай, когда оба корня характеристического уравнения совпадают: r_1  = r_2. В этом случае выражение C_1 r_1^{n - 1}+ C_2
r_2^{n - 1} уже не будет общим решением. Ведь из-за того, что r_1
 = r_2, это решение можно записать в виде

f(n) = (C_1  + C_2 )r_1^{n - 1}  = Cr_1^{n - 1}.
Остается только одно произвольное постоянное ; и выбрать его так, чтобы удовлетворить двум начальным условиям f(1) = a,f(2) = b, вообще говоря, невозможно.Поэтому надо найти какое-нибудь второе решение, отличное от f_1 (n)
= r_1^{n - 1}. Таким решением является f_2 (n) = nr_1^{n -
1}. В самом деле, если квадратное уравнение r^2  = a_1 r +
a_2 имеет два совпадающих корня r_1  = r_2, то по теореме Виета a_1  = 2r_1,a_2  =  - r_1^2. Поэтому уравнение записывается так:
r^2  = 2r_1 r - r_1^2.
А тогда рекуррентное соотношение имеет такой вид:
f(n + 2) = 2r_1 f(n + 1) - r_1^2 f(n). ( 8.10)
Проверим, что f_2 (n) = nr_1^{n - 1} действительно являются его решением. Имеем f_2 (n + 2) = (n + 2)r_1^{n + 1}, а f_2 (n
+ 1) = (n + 1)r_1^n. Подставляя эти значения в соотношение (8.10), получаем очевидное тождество
(n + 2)r_1^{n + 1}  = 2(n + 1)r_1^{n + 1}  - nr_1^{n + 1}.

Значит, nr_1^{n - 1} - решение рассматриваемого соотношения.

Итак, имеются два решения f_1 (n) = r_1^{n - 1} и f_2
(n) = nr_1^{n - 1} заданного соотношения. Его общее решение запишется так:

f(n) = C_1 r_1^{n - 1}  + C_2 nr_1^{n - 1}  = r_1^{n - 1} (C_1  + C_2 n).
Теперь уже путем подбора C_1, C_2 можно удовлетворить любым начальным условиям.

Линейные рекуррентные соотношения с постоянными коэффициентами, порядок которых больше двух, решаются таким же способом. Пусть соотношение имеет вид

f(n + k) = a_1 f(n + k - 1) + \ldots  + a_n f(n). ( 8.11)
Составим характеристическое уравнение
r^k  = a_1 r^{k - 1}  + \ldots  + a_k.
Если все корни r_1,r_2,\ldots,r_k этого алгебраического уравнения k -й степени различны, то общее решение соотношения (8.3) имеет вид
f(n) = C_1 r_1^{n - 1}  + C_2 r_2^{n - 1}  + \ldots  + C_k r_k^{n - 1}.
Если же, например, r_1  = r_2  = \ldots  = r_s, то этому корню соответствуют решения
f_1 (n) = r_1^{n - 1},f_2 (n) = nr_1^{n - 1},
f_3 (n) = n^2 r_1^{n - 1},\ldots,f_s (n) = n^{s - 1} r_1^{n - 1}
рекуррентного соотношения (8.11). В общем решении этому корню соответствует часть
r_1^{n - 1} [C_1  + C_2 n + C_3 n^2  + \ldots  + C_s n^{s - 1} ]

Составляя такое выражение для всех корней и складывая их, получаем общее решение соотношения (8.3).

Например, решим рекуррентное соотношение

f(n + 4) = 5f(n + 3) - 6f(n + 2) - 4f(n + 1) + 8f(n).
Характеристическое уравнение в этом случае имеет вид
r^4  - 5r^3  + 6r^2  + 4r - 8 = 0.
Решая его, получим корни
r_1  = 2,r_2  = 2,r_3  = 2,r_4  =  - 1.
Значит, общее решение нашего соотношения имеет следующий вид:
f(n) = 2^{n - 1} [C_1  + C_2 n + C_3 n^2 ] + C_4 ( - 1)^{n - 1}.

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Денис Хажиев
Денис Хажиев
Россия
Замир Ашурбеков
Замир Ашурбеков
Россия