Семантика языков программирования

Перечислив основные типы элементарных доменов, перейдем к их комбинированию посредством конструкторов.

Заметим, что, подобно ламбда-исчислению и комбинаторной логике, теория вычислений обладает весьма лаконичным набором способов комбинирования доменов. Как мы увидим далее, существует всего четыре типа конструкторов. Тем не менее, такой набор является вполне достаточным для построения домена, моделирующего семантику сколь угодно сложной предметной области или языка программирования.

Приведем определения перечисленных способов комбинирования доменов.

Под функциональным пространством из домена   D₁ в домен   D₂ будем понимать домен   [D₁->D₂], содержащий всевозможные функции с областью определения из домена   D1  и областью значений из домена   D₂:

[D1 -> D2] = {f | f : D1 -> D2}.

Под декартовым (или, иначе, прямым) произведением доменов

D₁, D₂, ... D_n будем понимать домен всевозможных n-ок вида

.

Под последовательностью   D* будем понимать домен всевозможных конечных последовательностей вида d=(d₁,d₂,...,d_n) из элементов d₁,d₂,...,d_n,... домена   D, где n>0 .

Наконец, под дизъюнктной суммой будем понимать домен с определением

,

где принадлежность элементов d_i компонентам D_i однозначно устанавливается специальными функциями принадлежности.

Поставим задачу формализации семантики языка функционального программирования SML. Отметим сразу, что в рамках данного курса будет рассматриваться не все множество возможных конструкций данного языка, а весьма ограниченное (хотя и вполне достаточное для иллюстрации основных идей курса) их подмножество, которое условно назовем языком программирования SMalL и будем именовать так в дальнейшем.

Прежде всего, рассмотрим синтаксис языка SMalL, т.е. перечислим основные типы конструкций, составляющих его.

Язык SMalL содержит множество   выражений   E, которые формализуются посредством БНФ в следующем виде:

E ::= true | false | 0 | 1 | I | -E |
      E1==E2 | E1+E2

Заметим, что выражения включают логические ( true и false ) и целочисленные (в ограниченном объеме: 0 и 1) константы, множество   идентификаторов   (I), а также операции отрицания (-E), сравнения (E1==E2) и сложения (E1+E2).

Кроме того, язык SMalL содержит множество   команд   С, которые формализуются посредством БНФ в следующем виде:

С ::= I=E | if (E) C1 else C2 | 
      while(E) C | C1;C2

Отметим, что команды включают присваивание (I=E), условие

(if (E) C1 else C2), цикл с предусловием (while(E) C), а также последовательность команд   (C1;C2).

Деление синтаксиса языка SMalL на выражения и команды во многом является условным и служит иллюстративным целям.

Как уже отмечалось, в качестве математической формализации, моделирующей семантику языков программирования (в частности, языка SMalL), будет использоваться теория вычислений Д. Скотта.

Приведем порядок построения формальной модели семантики языка программирования SMalL согласно ранее представленному формальному описанию синтаксиса языка в терминах БНФ.

Прежде всего, необходимо дать определение синтаксических доменов (т.е. доменов, характеризующих основные синтаксические категории) для идентификаторов ( домен   Ide ), выражений ( домен   Exp ) и команд ( домен   Com ).

Далее, следует представить определение вычислительной модели на основе синтаксических доменов.

Затем необходимо перейти к определению семантических функций ( E для домена   Exp, C для домена   Com и т.д.), которые отображают синтаксические конструкции языка программирования в соответствующие им семантические представления.

Наконец, следует сформулировать определение семантических предложений в терминах смены состояний программы.

Заметим, что при выполнении программы (в частности, написанной на языке программирования SMalL) происходит изменение состояния   памяти   (m, memory), которое в простейшем случае характеризует соответствие идентификаторов и значений (то есть, по сути, связывание переменной со значением), либо имеет значение unbound (характеризующее отсутствие связи идентификатора со значением, т.е. аналог свободной переменной).

В соответствии с намеченной схемой рассуждений перейдем к описанию синтаксических доменов, которые в полной мере определяют синтаксис языка SMalL:

Ide =	{I | I - идентификатор};
Com =	{C | C - команда};
Exp =	{E | E - выражение}.

Совокупность всех возможных идентификаторов языка SMalL организуем в домен   Ide, команд - в домен   Com, и, наконец, выражений - в домен   Exp.

Далее, сформулируем вычислительную модель на основе состояний программы языка SMalL, для наглядности представив ее в виде следующей таблицы 8.1:

Заметим, что состояние программы в произвольный момент времени определяется состоянием " памяти " абстрактной машины той или иной формы. При этом под памятью понимается отображение из домена   идентификаторов в домен значений (т.е. аналог связывания переменной со значением в ламбда-исчислении). Для корректной обработки исключительных ситуаций, возникающих в случае свободных переменных, вводится дополнительный элемент unbound. Домен значений представляет собой дизъюнктную сумму   доменов, содержащих существующие в языке SMalL типы Int и Bool.

В соответствии с намеченной схемой рассуждений перейдем к описанию семантических предложений, которые описывают значение денотатов (т.е. правильно построенных конструкций) языка SMalL.

Приведем семантические предложения для выражений языка программирования SMalL:

E : Exp -> [State -> [[Value, State] + 
                     {error}]];
E[E]s = (v,s'),

если v - значение E в s,

s' - состояние после означивания;

E[E]s = error,

если возникает ошибка несоответствия типов.

Из приведенных соотношений следует, что вычисление значения выражения языка программирования SMalL приводит к такому изменению состояния, что происходит связывание переменной со значением, либо (в случае невозможности связывания по причине несоответствия типов переменной и значения) генерируется сообщение об ошибке. При этом состояние программы изменяется с s на s'.

Приведем семантические предложения для команд языка программирования SMalL:

С : Com -> [State -> [ State + {error}]].

Из приведенного соотношения следует, что вычисление значения команды языка программирования SMalL приводит, вообще говоря, к изменению состояния, причем возможна ситуация (например, несоответствие типов в ходе присваивания), при которой вырабатывается ошибка.

В соответствии с намеченной схемой рассуждений перейдем к описанию семантических предложений, которые описывают значение конкретных денотатов (т.е. правильно построенных конструкций) языка SMalL. Рассмотрим семантические предложения для денотатов констант целочисленного типа языка SMalL:

E[0]s = (0,s);
E[1]s = (1,s);

Как видно из приведенных соотношений, денотатами констант целочисленного типа являются значения этих констант (в форме упорядоченных пар вида "значение"-" состояние "), причем смены состояния программы не происходит. Рассмотрим семантические предложения для денотатов констант логического типа языка SMalL:

E[true]s = (true,s);
E[false]s = (false,s);

Как видно из приведенных соотношений, денотатами констант логического типа являются значения этих констант (в форме упорядоченных пар вида "значение"-" состояние."), причем смены состояния программы не происходит. Рассмотрим семантическое предложение для денотатов   идентификаторов языка SMalL:

E[I]s = (m,I=unbound) error, -> (m,I,s).

Как видно из приведенного соотношения, при возможности связывания денотатами   идентификаторов являются идентификаторы, связанные со значениями (в форме упорядоченных троек вида "значение в памяти "-" идентификатор "-" состояние "), причем смены состояния программы не происходит, а при невозможности - выдается сообщение об ошибке.

Рассмотрим семантические предложения для денотатов   выражений языка SMalL:

E[-E]s=(E[E]s=(v,s'))
(isBool -> (not v,s'),error,error; 

E[E1=E2]s=(E[E1]s=(v1,s1)) ->
(E[E2]s1= (v2,s2)) -> 
(v1 = v2,s2),error),error;

E [E1+E2]s = (E [E1] s=(v1,s1)) ->
(E [E2]s1 = (v2,s2)) -> 
(IsNum v1 and IsNum v2 -> v1+v2,s2),error),
error),error.

Проанализируем полученные соотношения.

Денотатом отрицания выражения является отрицание его значения; причем состояние программы изменяется. В случае несоответствия типов или небулевости выражения генерируется сообщение об ошибке.

Денотатом присваивания является присвоенное значение в новом состоянии. В случае несоответствия типов генерируется сообщение об ошибке.

Денотатом сложения является значение суммы в новом состоянии. В случае несоответствия типов генерируется сообщение об ошибке.

В качестве упражнения предлагается самостоятельно разработать семантические предложения для денотатов   команд языка программирования SMalL.

Кратко резюмируем итоги лекции.

В ходе лекции была представлена классификация подходов к семантике языков программирования, признан целесообразным денотационный подход, который проиллюстрирован на примере языка SMalL - ограниченного подмножества SML.

По итогам обсуждения можно сделать следующие выводы:

1. семантика языков функционального программирования достаточно близка к семантике формальных теорий, на которых они основаны (в частности, это справедливо для ламбда-исчисления и языка SML);
2. теория вычислений является актуальной и адекватной формализацией семантики ;
3. денотационный подход является наиболее целесообразным для моделирования семантики языков программирования.

Для более подробного самостоятельного ознакомления с тематикой лекции рекомендуется следующий список источников: [24,40,42,52,67,70].