НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию автоматов. Лекция 1: Основные понятия теории абстрактных автоматов

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 24.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Вятский государственный университет

|

Вам нравится? Нравится 30 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Приводятся начальные сведения об абстрактных автоматах Мили и Мура. Даются возможные способы представления автоматов: теоретико-множественное, графовое, табличное и матричное.

Ключевые слова: компонент, информатика, компилятор, верификация, оптимизация, software, дуга, computational science, системные программы, Unix, множества, элемент множества, информация, переполнение, реакция, входной, автомат, граф, программная реализация, язык высокого уровня, блок-схема, топология, NEXT, буфер, анализ, функция, структурная схема, устройство управления, математическая модель, абстрактный автомат, функция переходов, отображение множества, конечные, интервал, дискретизация, автомат Мили, автомат Мура, автомат Мили, алфавит, входной алфавит, пересечение, вершины графа, дуга графа, матричная форма, матрица, размерность

Введение

"Теория автоматов" - является одной из важных компонент федерального государственного стандарта по направлению "Информатика и вычислительная техника".

Теория автоматов имеет широкие возможности применения:

Проектирование систем логического управления;
Обработка текстов и построение компиляторов;
Спецификация и верификация систем взаимодействующих процессов;
Языки описания документов и объектно-ориентированных программ;
Оптимизация логических программ др.

Об этом можно судить по выступлениям на семинаре "Software 2000…" ученых и специалистов.

Дуг Росс: "…80 или даже 90 % информатики (Computer Science) будет в будущем основываться на теории конечных автоматов…"

Herver Gallaire: "Я знаю людей из "Боинга", занимающихся системами стабилизации самолетов с использованием чистой теории автоматов. Даже трудно себе представить, что им удалось с помощью этой теории. "

Brian Randell : "Большая часть теории автоматов была успешно использована в системных программах и текстовых фильтрах в ОС UNIX. Это позволяет множеству людей работать на высоком уровне и разрабатывать очень эффективные программы".

1.1. Основные понятия и определения.

Простейший преобразователь информации (рис.1.1,а) отображает некоторое множество элементов информации Х, поступающее на вход, в некоторое множество на выходе Y. Если множества Х и Y являются конечными и дискретными, то есть преобразование осуществляется в дискретные моменты времени, то такие преобразователи информации называются конечными преобразователями. Элементы множеств Х и Y в этом случае предварительно кодируют двоичными кодами и строят преобразование одного множества в другое.

Результат преобразования $F: X \to Y$ зачастую зависит не только от того, какая информация в данный момент появилась на входе, но и от того, что происходило раньше, то есть от предыстории преобразования. Например, один и тот же вход - извинение соседа после того, как он вам наступил на ногу в переполненном автобусе - вызовет у вас одну реакцию в первый раз и совсем другую - в пятый раз.

Рис. 1.1.

Таким образом, существуют более сложные преобразователи информации (ПИ), реакция которых зависит не только от входных сигналов в данный момент, но и от того, что было раньше, от входной истории. Такие ПИ называются автоматами (схемами с памятью). В этом случае говорят об автоматном преобразовании информации (рис.1.1,б). На один и тот же входной сигнал автомат может реагировать по-разному, в зависимости от состояния, в котором он находился. Автомат меняет свое состояние с каждым входным сигналом.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1^{1Карпов Ю.Г. Теория автоматов-СПб.:Питер, 2003}. Автомат, описывающий поведение "умного" отца.

Опишем поведение отца, сын которого учится в школе и приносит двойки и пятерки. Отец не хочет хвататься за ремень каждый раз, как только сын получит двойку, и выбирает более тонкую тактику воспитания. Зададим такой автомат графом, в котором вершины соответствуют состояниям, а дуга из состояния s в состояние q, помеченное x/y, проводится тогда, когда автомат из состояния s под воздействием входного сигнала х переходит в состояние q с выходной реакцией y. Граф автомата, моделирующего умное поведение родителя, представлен на рис.1.2. Этот автомат имеет четыре состояния $\{ S_0, S_1, S_2, S_3\}$ , два входных сигнала - оценки $\{ x_2, x_5 \}$ и выходные сигналы $\{ y_0, y_1, y_2, y_3, y_4, y_5 \}$ , которые будем интерпретировать как действия родителя следующим образом:

y_0 - брать ремень;

y_1 - ругать сына;

y_2 - успокаивать сына;

y_3 - надеяться;

y_4 - радоваться;

y_5 - ликовать.

Рис. 1.2.

Сына, получившего одну и ту же оценку - двойку, ожидает дома совершенно различная реакция отца в зависимости от предыстории его учебы. Например, после третьей двойки в истории (х_2, х_2, х_2) сына встретят ремнем, а в истории (х_2, х_2, х_2, х_5, х_2) будут успокаивать и т.д.

Конечный автомат может быть реализован как программно, так и аппаратно. Программную реализацию можно выполнить на любом языке высокого уровня разными способами. На рис.1.3 представлена блок-схема программы, реализующей поведение автомата примера 1. Нетрудно увидеть, что топология блок-схемы программы повторяет топологию графа переходов автомата. С каждым состоянием связана операция NEXT, выполняющая функцию ожидания очередного события прихода нового входного сигнала и чтения его в некоторый стандартный буфер х, а также последующий анализ того, какой это сигнал. В зависимости от того, какой сигнал пришел на вход, выполняется та или иная функция y_0 ... y_5 и происходит переход к новому состоянию.

Рис. 1.3.

Аппаратную реализацию автомата рассмотрим во второй части этого раздела.

Пример 2. "Студент"

Автомат, модель которого представлена на рис.1.4, описывает поведение студента и преподавателей.

Рис. 1.4.

$\{S_0 ,S_1 ,\dots , S_5,\}$ - состояния;

$\{x_1, x_2, x_3\}$ - входные сигналы: "н", "2" и "5".

$\{y_1, y_2, y_3,\dots , y_7\}$ - выходные реакции:

- отмечаем "н";
- успокаивать;
- хвалим студента;
- поощряем;
- надеемся;
- предупреждаем;
- отчисляем;

Пример 3¹. Электронные часы (рис.1.5).

Электронные часы разнообразных функциональных возможностей являются одним из наиболее широко применяемых в быту электронных приборов, управление которыми построено на основе конечноавтоматной модели. Они обычно показывают: время, дату; у них имеется функции такие как "установка времени и даты", "Секундомер", "Будильник"и т.п. Упрощенная структурная схема электронных часов показана нарис.1.5

Рис. 1.5.

Регистры отображают либо время, либо дату, либо секундомер в зависимости от "Управления". Устройство управления построено на основе модели конечного автомата. Конечный автомат реагирует на нажатия кнопки "а" на корпусе переходом в состояние "Установка минут", в котором событие нажатия кнопки "b" вызовет увеличение числа. Устройство управления построено на основе модели конечного автомата, граф которого показан нарис.1.6

Рис. 1.6.

Итак. С одной стороны АВТОМАТ - устройство, выполняющее некоторые действия без участия человека. С другой стороны, АВТОМАТ - математическая модель, описывающая поведение технического устройства. В данном случае реальное устройство, система и т.д. рассматривается как некоторый "ЧЁРНЫЙ ЯЩИК" (рис.1.7).

Рис. 1.7.

Абстрактный автомат - это математическая модель, описывающая техническое устройство совокупностью входных, выходных сигналов и состояний, кроме того:

имеет множество внутренних состояний $А=\{ а_1(t), а_2(t), а_3(t), а_m(t)\}$ , называемых состояниями автомата;
на вход автомата поступает конечное множество входных сигналов $Z=\{ z_1(t), z_2(t), z_3(t), \dots, z_f(t)\};$ имеется конечное множество выходных сигналов $W=\{ w_1, w_2, w_3, \dots w_g\}$ ;
задана функция перехода $\delta(a,z)$ ;
задана функция формирования выходов автомата $\lambda(a,z)$ ;
определено начальное состояние автомата $а_1 \in А$ .

То есть для описания автомата нужно использовать шестёрку вида $S=\{A, Z, W, \sigma, \lambda, а_1\}$ , где

$A=\{ a_1, a_2, a_3, \dots a_М\};$
$Z=\{ z_1, z_2, z_3, \dots z_F\};$
$W=\{ w_1, w_2, w_3, \dots w_G\};$
$\delta : A * Z \to A ( a_s=\delta( a_m, z_i) | a_s \in А);$
$\lambda : A*Z \to W ( w_s= \lambda( a_m, z_i) | a_s \in А, w \in W );$
$a_1 \in А$ .

Автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита Z в множество слов выходного алфавита W.

Автомат называется конечным, если множество его внутренних состояний и множество значений входных сигналов есть конечные множества.

Автомат называется синхронным, если интервал временной дискретизации постоянен, в противном случае говорят об асинхронном автомате.

Автомат называется детерминированным, если поведение автомата в каждый момент времени однозначно определено ( z_i, a_i ,)

В зависимости от способа определения выходного сигнала в синхронных автоматах различают:

Автомат первого рода ( Автомат Мили )
- $a(t+1)=\delta( a(t),Z(t)); где\ t=0,1,2,\dots$
- $W(t)=\lambda( a(t), Z(t))$ ;
Автомат второго рода ( Автомат Мура )
- $A(t+1)=\delta( a(t),Z(t))$ ,
- $W(t)=\lambda( a(t)); где\ t=0,1,2,\dots$
- $W(t+1)=\lambda(a(t+1))=\lambda(\delta( a(t), z(t)))$