Алгоритмы: частично рекурсивные функции

Программная вычислимость рекурсивных функций

В этом параграфе рассмотрим соотношение между программно вычислимыми и частично рекурсивными функциями. Справедлива следующая

Теорема 8.1. Каждая частично рекурсивная функция программно вычислима.

Доказательство индукцией по определению ч.р.ф.

Базис: программная вычислимость простейших функций была установлена в примерах 1.1, 1.2 и 1.4.

Индукционный шаг: покажем программную вычислимость операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации.

Суперпозиция. Пусть F^m и f₁ⁿ,..., f_mⁿ - арифметические функции, вычислимые программами так, что , и при i=1,...,n. Пусть переменные y₁, ..., y_m, z₁,..., z_n не используются в программах . Кроме того, пусть все вспомогательные переменные этих программ - это w₁, ... , w_r. Рассмотрим следующую программу P:

В качестве входных переменных зафиксируем x₁, ..., x_n, а выходной - x₁. Пусть в исходном состоянии x₁=a₁, ..., x_n = a_n. Тогда в первой строке эти значения сохраняются в переменных z₁, ..., z_n, которые своих значений далее не меняют. Поэтому для каждого i=1,...,m-1 после выполнения фрагмента

значением переменной y_i является f_iⁿ(a₁,..., a_n), x₁=a₁, ..., x_n = a_n, а значения всех вспомогательных переменных равны 0. Тогда после выполнения

значением каждого x_i также является f_iⁿ(a₁,..., a_n), а после выполнения значение x₁ равно . Таким образом, .

Примитивная рекурсия. Рассмотрим для простоты случай n=1. Пусть функция F²(x₁,y) получена с помощью оператора примитивной рекурсии из функций g¹(x₁) и h³(x₁, y, z), т.е. F² =R(g¹,h³). Предположим, что существуют программы и , вычисляющие функции g¹ и h³ так, что и . Пусть вспомогательные переменные - это z₁,..., z_m и они не встречаются в , а переменные u₁, y₁ и v не используются в программах и . Рассмотрим программу P: пока v < y₁ делай z:=x₁; x₁:=u₁; y:=v; все В качестве входных переменных P возьмем x₁ и y, а выходной - x₁.

Рассмотрим работу P на исходном состоянии в котором . При b=0 цикл не выполняется и в результирующем состоянии имеем . При b > 0 цикл будет выполняться b раз, так как в его теле v всякий раз увеличивается на 1, а значение y₁=b и не меняется. Перед первым выполнением все ее рабочие переменные z_i равны 0, x₁=a, y=0, z=F²(a, 0), а после ее выполнения x₁=h³(a,0,F(a,0))=F(a,1). Предположим теперь по индукции, что перед (i+1) -ым выполнением все ее рабочие переменные z_i равны 0, x₁=a, y=i и z=F²(a, i). После этого выполнения x₁=h³(a,i,z)=h³(a,i,F(a,i))=F(a,i+1). Тогда присваивания z₁:=0; ... ; z_m:=0; v:= v+1 после и z:=x₁; x₁:=u₁; y:=v; перед ее следующим выполнением установят значения переменных так, что все ее рабочие переменные z_i равны 0, x₁=a, y=i+1 и z=F²(a, i+1). Следовательно, после b -го выполнения тела цикла x₁=h³(a,b-1,F(a,b-1))=F(a,b).

Минимизация. Предположим, что функция Fⁿ(x₁,... ,x_n) получена с помощью оператора минимизации ( mu -оператора) из функции gⁿ⁺¹(x₁,..., x_n,y), т.е.

Пусть программа вычисляет gⁿ⁺¹, так что , и пусть рабочие переменные - это z₁,..., z_m. Зафиксируем переменные x₁',... , x_n', y';, u, z, не входяшие в . Рассмотрим следующую программу

Рассмотрим работу на входных значених x_i = a_i (i=1,...,n). В первой строке они сохраняются в переменных x'_i, которые нигде в не изменяются, z получает значение 0, которое тоже не меняется по ходу вычисления, а u вначале получает значение 1. Поэтому условие цикла после первой строки истинно и он хотя бы один раз выполняется. Докажем, что для каждого i >= 1, (i+1) -ая итерация цикла выполняется тогда и только тогда, когда g(a₁, ..., a_n,0)=b₁ >0, ..., g(a₁, ..., a_n, i-1)=b_i-1 > 0, останавливается после (i+1) -ой итерации цикла с результатом x₁=i тогда и только тогда, когда g(a₁, ..., a_n,i)=0. При этом перед выполнением входные переменные x₁,...,x_n,y имеют значения a₁,...,a_n, i, соответственно, y'= i, а все рабочие переменные z_j (j=1,..., m) равны 0.

Действительно, предположив это условие, получим, что после очередного выполнения фрагмента

значение u = x₁ = g(a₁,...,a_n,i), а рабочие переменные восстанавливают нулевые значения. Если g(a₁,...,a_n,i)=0, то u=z и в условном операторе x₁ получает значение y'=i. После этого условие цикла нарушено и завершает работу с выходным значением x₁=i =F(a₁,..., a_n). Если же g(a₁,...,a_n,i)> 0, то u>z и в условном операторе y' увеличивает значение до (i+1). Тогда условие цикла выполнено и перед (i+2) -ым выполнением ее входные переменные x₁,...,x_n,y имеют значения a₁,...,a_n, i+1, соответственно, y'= i+1, а все рабочие переменные равны 0.

Из доказанного утверждения непосредственно следует, что

Имеет место и утверждение, обратное теореме 8.1, которое мы приводим здесь без доказательства.

Теорема 8.2. Каждая программно вычислимая функция является частично рекурсивной.