Алгоритмы: структурированные программы

Определение 7.6. Программа с входными переменными x₁,..., x_n и результирующей переменной y вычисляет частичную функцию F: ⁿ -> , если для любого набора значений аргументов , она переводит начальное состояние в котором при 1<= i<= n и при , в состояние тогда и только тогда, когда и .

Функцию, вычисляемую программой с входными переменными x₁,..., x_n в (результирующей) переменной y, обозначим .

Арифметическая функция F(x₁, ..., x_n) программно вычислима, если она вычислима некоторой программой в некоторой переменной y при некотором разбиении переменных на входные: x₁,..., x_n и вспомогательные.

Заметим, что в нашем языке нет понятия процедуры (подпрограммы). Для сокращения записи мы будем иногда использовать имя одной ранее написанной программы внутри текста другой: . Такая запись будет означать текстовую (in-line) подстановку текста (кода) программы в соответствующее место программы Подчеркнем, что при этом переменные не переименовываются и программист сам должен заботиться о правильной инициализации переменных из . Например, если использует отдельно написанную программу из приведенного ниже примера 7.3 для сложения переменных a и b и получения результата в t, то "безопасный" и корректный способ сделать это может выглядеть так:

т.е. вначале сохраняются текущие значения переменных x,y,z, используемых в , затем входным переменным x и y присваиваются нужные значения a и b и вызывается , ее результат передается в t, затем восстанавливаются значения x,y,z.

Рассмотрим несколько примеров программ.

Пример 7.1.

Ясно, что тождественно равна 0.

Пример 7.2.

А здесь для любого x.

Пример 7.3.

Зафиксируем входные переменные x, y и выходную переменную x ( z - рабочая переменная ). Легко показать, что .

Действительно, при y=0 тело цикла не выполняется и выход равен x=x+0. При y >= 1 тело цикла выполняется y раз и при каждом его выполнении x увеличивается на 1.

Пример 7.4.

вычисляет в x₁ функцию выбора i-го аргумента: .

Пример 7.5.

Нетрудно понять, что вычисляет нигде не определенную функцию от n переменных: .

Задачи

Задача 7.1. Определите (по аналогии с п. (ж)) определения 7.5 семантику для программ вида

пока x < y делай все.

Задача 7.2.Построить структурированные программы, вычисляющие в z следующие функции, и доказать их корректность:

• f_{x}(x,y)= x*y;
• f_fact(x)= x!;
• f_-1(x)= x 1, где 0 1 = 0 и (x+1) 1 = x ;
• f_-(x,y)= x y, где x y = x-y, если x >= y и x y=0, если x < y ;
• f_sqr(x)= [sqrt x];
• f_exp(x)= 2^x;
• f_log(x)= [log₂x];
• f_/(x,y)= [x/y].

Задача 7.3. Пусть - структурированная программа и . Из определений следует, что при различной фиксации входных переменных и выходной переменной программа может вычислять различные функции.

• Каково максимальное число функций от n <= m переменных, которое может вычислять Сколько всего разных функций может вычислить
• Постройте программу , которая вычисляет максимальное число различных функций от n <= m переменных.
• Постройте программу с , которая для каждого n <= m вычисляет максимальное число различных функций от n переменных.

Задача 7.4.Построить структурированные программы, вычисляющие в z следующие функции:

Задача 7.5. Пусть структурированная программа вычисляет в переменной y некоторую всюду определенную взаимно однозначную функцию f(x), область значений которой совпадает с множеством всех натуральных чисел N. Пусть . Постройте структурированную программу, которая вычисляет обратную функцию f^-1(x) = { z | f(z)=x}.

Задача 7.6. Пусть F(x) задана соотношениями F(0)=1, F(1)=1, F(x+2)= F(x)+F(x+1) (элементы последовательности F(x) называются числами Фибоначчи). Постройте структурированную программу, которая вычисляет функцию F(x).