Свойства замкнутости класса автоматных языков. Неавтоматные языки

Задачи

Задача 6.1. Примените процедуру детерминизации из теоремы 4.2 и постройте ДКА, эквивалентный построенному выше в примере 6.2 НКА M.

Задача 6.2. Цилиндрификация - это операция, которая обратна проекции. Для любых алфавитов и таких, что , и любого языка L в алфавите определим его цилиндрификацию как язык .

Показать, что для автоматного языка L язык также является автоматным языком. Предложите процедуру перестройки автомата, распознающего L , в автомат, распознающий .

Задача 6.3. Обращением слова называется слово w^{-1}= w_k ... w₂ w₁. Показать, что для автоматного языка L его обращение - язык также является автоматным языком.

Задача 6.4. Пусть L - автоматный язык в алфавите Доказать, что автоматными являются и следующие языки:

1. .
2. .
3. .
4. .

Задача 6.5. Пусть L - автоматный язык в алфавите , а L₁,..., L_m - это автоматные языки в алфавите Доказать, что автоматным является и язык ЗАМ(L), полученный из слов L заменой каждой буквы a_i на некоторое слово из L_i, т.е. и такие слова , что для всех j=1,2,... n }.

Задача 6.6. Пусть L - автоматный язык в алфавите k - целое положительное число и - отображение в Доказать, что автоматным является язык .

Задача 6.7. Докажите, что теорема 6.3 о разрастании остается справедливой и при замене условия 1) |xy| <= n на условие 1') |yz| <= n, т.е. повторяющееся подслово y имеется и в суффиксе w длины <= n.

Задача 6.8. Доказать, что следующие языки в алфавите не являются автоматными.

• Множество всех слов, в которых букв a на 3 больше, чем букв b.
• L={ aⁿcb^m | m > 3n }.
• L={ wcw^-1 | w =a²bⁿa для некоторого n > 0}.
• L={ w | |w| = 2ⁿ для некоторого целого числа n }.
• .

Задача 6.9. -выражение - это либо переменная x, или символ за которым следует переменная, а далее либо -выражение, либо левая скобка, -выражение, еще одно -выражение и правая скобка. Например, - это правильные -выражения, а и - неправильные. Докажите, что язык -выражений в алфавите не является автоматным.

Задача 6.10. Выше в задаче строился автомат-распознаватель, который проверял правильность сложения двоичных чисел. Докажите, что для операции умножения двоичных чисел такого автомата не существует, т.е. что язык в алфавите троек битов U = {(x₁(1),x₂(1),y(1)) (x₁(2),x₂(2),y(2)) ... (x₁(n),x₂(n),y(n)) | y = y(n) ... y(2)y(1) - это первые n битов произведения двоичных чисел x₁= x₁(n)... x₁(2)x₁(1) и x₂ = x₂(n)... x₂(2)x₂(1)} не является автоматным.

Задача 6.11. Доказать, что язык в алфавите не является автоматным.