НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 9: Редуцированные базисы решетки. Редуцирование базиса в решетке

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В данной лекции рассматриваются редуцированные базисы решетки и редуцирование базиса в решетке. Приведены практические примеры и алгоритмы, а также предоставлены задачи для самостоятельного рассмотрения

Редуцированные базисы решетки

19.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Решеткой в -мерном векторном пространстве над полем вещественных чисел $\mathbb R$ или над полем рациональных чисел $\mathbb Q$ называется свободный $\mathbb Z$ -модуль ранга , т.е. существует базис $b_1,\dots,b_n$ пространства $\mathbb R ^n$ (соответственно $\mathbb Q ^n$ ), такой, что

$\begin{equation*} L=\sum\limits ^n_{i=1}\mathbb Z b_i = \biggl\{ \sum\limits ^n_{i=1} r_i b_i\ |\ r_i \in\mathbb Z ,\quad 1\leq i\leq n \biggr\}. \end{equation*}$

В этом случае

называется рангом решетки, а множество векторов $b_1,\dots,b_n$ - ее базисом.

19.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Детерминантом d(L) решетки называется положительное число, определяемое формулой

$\begin{equation*} d(L) = |\det (b_1 , b_2 ,\dots, b_n )|, \end{equation*}$

для некоторого базиса $b_1,b_2,\dots, b_n$ решетки

.

19.3. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что определение 19.2 является корректным, т.е. d(L) не зависит от выбора базиса решетки .

Прежде чем дать определение редуцированного базиса решетки, нам необходимо напомнить процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Векторы b_i^* $\smu{2}(1\leq i\leq n)$ и вещественные числа $\mu_{i,j}$ $(1\leq j< i\leq n)$ определяются по индукции формулами

$b_i^*&=b_i-\sum\limits _{j=1}^{i-1} \mu_{i,j}b_j^*,$

( 19.1)

$\mu_{i,j}&=\frac{(b_i , b_j^* )}{(b_j^* ,b_j^* )}.$

( 19.2)

Отметим, что b_i^* - проекция вектора b_i на ортогональное дополнение к пространству $\sum\limits\limits _{j=1}^{i-1}\mathbb R b_j$ в пространстве $\sum\limits\limits _{j=1}^i \mathbb R b_j$ и что $\sum\limits\limits _{j=1}^i \mathbb R b_j = \smash[t]{\sum\limits\limits _{j=1}^i} \mathbb R b_j^*$ для $1 \leq i \leq n$ . Таким образом векторы $b_1^*,\dots, b_n^*$ образуют ортогональный базис пространства $\mathbb R ^n$ .

В дальнейшем символ $|\ |$ используется как для обозначения абсолютной величины вещественных или комплексных чисел, так и для обозначения евклидовой длины вектора в вещественном векторном пространстве.

19.4. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что

$\begin{equation*} |\det (b_1^*,\dots, b_n^*)| = d(L) = \prod _{i=1}^n |b_i^* |. \end{equation*}$

Показать, что для любого базиса $b_1,\dots, b_n$ решетки

выполняется неравенство Адамара

$\begin{equation} d(L) \leq \prod _{i=1}^n |b_i |. \end{equation}$

( 19.3)

19.6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базис $b_1,\dots, b_n$ решетки называется редуцированным редуцированным, если выполняются неравенства

$\begin{equation} |\mu_{i,j}| \leq 1/2 \text{ для }1\leq j\leq i\leq n \end{equation}$

( 19.4)

и

$\begin{equation} |b_i^* + \mu_{i,i-1}b_{i-1}^*|^2 \geq \frac34|b_{i-1}^*|^2\quad\text{для}\quad 1 < i \leq n. \end{equation}$

( 19.5)

Векторы $b_i^*+ \mu_{i,i-1}b^*_{i-1}$ и $b_{i-1}^*$ имеют простой геометрический смысл - это проекции векторов b_i и $b_{i-1}$ на ортогональное дополнение к пространству $\sum\limits^{i-2}_{j=1} \mathbb R b_j$ в $\sum\limits _{j=1}^i\mathbb R b_j$ . Константа 3/4 выбирается в значительной мере произвольно: вместо нее можно взять любое фиксированное вещественное число , удовлетворяющее условию 1/4 < y < 1 .

Грубо говоря, редуцированный базис состоит из "почти ортогональных" векторов, расположенных в порядке "почти неубывания длин".

Использование редуцированных базисов решеток для целей факторизации многочленов основано на следующем свойстве таких базисов: если $b_1 ,\dots,b_n$ - редуцированный базис решетки , то

$\begin{equation*} |b_1|^2\leq 2^{n-1}|x|^2 \end{equation*}$

для любого вектора $x \in L$ . К доказательству этого свойства и его обобщений мы сейчас и переходим.

19.7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть $b_1,\dots, b_n$ - редуцированный базис решетки в $\mathbb R ^n$ и векторы $b_1^*,\dots,b^*_n$ получены из этого базиса процессом ортогонализации Грама - Шмидта. Тогда

$|b_j|^2&\leq 2^{i-1}\cdot |b_i^*|^2\quad\text{для}\quad 1\leq j\leq i\leq n,$

( 19.6)

$d(L)&\leq \prod_{i=1}^n |b_i|\leq 2^{n(n-1)/4}\cdot d(L),$

( 19.7)

$|b_1|&\leq 2^{(n-1)/4}\cdot d(L)^{1/n}.$

( 19.8)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сначала докажем формулу (19.6). Из формул (19.4) и (19.5) получаем

$\begin{equation} |b_i^*|^2\geq \left(\frac34-\mu^2_{i,i-1}\right)\cdot |b^*_{i-1}|^2\geq\frac12\cdot |b_{i-1}^*|^2 \end{equation}$

( 19.9)

для $1 < i \leq n$ , откуда по индукции выводится неравенство

$\begin{align*} |b_i|^2 &= |b_i^* |^2 + \sum\limits ^{i-1 }_{j=1} \mu_{i,j}^2 |b_j^* |^2 \\ &\leq |b_i^*|^2+\sum\limits _{j=1}^{i-1 }\frac 14 \cdot 2^{i-j } |b_i^* |^2 \\ &= \left(1 + \frac 14(2^i - 2)\right)\cdot |b_i^* |^2 \\ &\leq 2^{i-1}\cdot |b_i^* |^2. \end{align*}$

Из этих формул следует, что

$\begin{equation*} |b_j|^2\leq 2^{j-1}\cdot |b_j^* |^2 \leq 2^{i-1 } \cdot |b_i^* |^2 \end{equation*}$

для $1\leq j\leq i\leq n$ . Таким образом, формула (19.6) доказана.

Для доказательства формулы (19.7) достаточно воспользоваться упражнением 19.4 и неравенствами

$|b_i^* | \leq |b_i | \leq 2^{(i-1)/2 } \cdot |b_i^* |.$

Полагая

в формуле (19.6) и перемножив левые и правые части этой формулы для

от 1 до

, получим неравенство (19.8). Этим заканчивается доказательство предложения 19.7.

19.8. УПРАЖНЕНИЕ. Показать, что если в формуле (19.5) заменить 3/4 на некоторое вещественное число , 1/4<y<1 , то появляющиеся в формулах (19.6), (19.7) и (19.8) степени числа 2 заменятся на такие же степени числа 4/(4y-1) .

19.9. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть $b_1,\dots, b_n$ - редуцированный базис решетки . Тогда для любого ненулевого вектора $x \in L$ выполняется неравенство

$\begin{equation*} |b_1 |^2 \leq 2^{n-1}\cdot |x|^2 . \end{equation*}$

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Любой вектор $x \in L$ может быть выражен через векторы базиса $b_1,\dots,b_n$ с целыми коэффициентами r_i , а через векторы $b^*_1,\dots,b_n^*$ - в виде линейной комбинации с вещественными коэффициентами r'_i , т.е.

$x=\sum\limits^n_{i=1}r_ib_i = \sum\limits ^n_{i=1} r_i'b_i^*.$

Если

- наибольший индекс, для которого $r_i\ne 0$ , то $|r'_i|=|r_i|\geq 1$ . Таким образом,

$\begin{equation*} 2^{n-1 }|x|^2\geq 2^{n-1}{r'}^2_i\cdot |b_i^*|^2\geq 2^{n-1 }|b_i^*|^2 \geq 2^{i-1 }|b_i^*|^2\geq |b_1|^2. \end{equation*}$

Последние два неравенства вытекают из формулы (19.6).

Обобщением полученного результата является следующее

19.10. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть $b_1, \dots, b_n$ - редуцированный базис решетки , $x_1, \dots, x_t$ - линейно независимые векторы решетки . Тогда для любого от 1 до выполняется неравенство

$\begin{equation*} |b_j |^2 \leq 2^{n-1 } \cdot \max \{ |x_1|^2, \dots, |x_t |^2\} . \end{equation*}$

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выразим векторы x_j через элементы базиса b_i :

$x_j=\sum\limits^n_{i=1} r_{ij}b_i,$

где $r_{ij}\in\mathbb Z$ $(1\leq i\leq n)$ для $1\leq j\leq t$ . Для каждого фиксированного

через

обозначим наибольшее значение

, для которого $r_{ij} \ne 0$ . Перенумеруем векторы x_j

так, чтобы числа i(j)

не убывали, т.е. $i(1) \leq i(2) \leq \dots \leq i(t)$ . Из доказательства предыдущего предложения можно получить неравенство

$\begin{equation} |x_j |^2\geq |b_{i(j)}^*|^2\quad\text{для всех $j$ от 1 до $t$.} \end{equation}$

( 19.10)

Покажем, что $j \leq i(j)$ для всех от 1 до . Если это неравенство для некоторого не выполняется, то все векторы $x_1 ,\dots, x_j$ принадлежат подпространству $\mathbb R b_1 + \mathbb R b_2 + \dots + \mathbb R b_{j-1}$ , что противоречит линейной независимости векторов $x_1, \dots, x_t$ . Воспользовавшись неравенством $j \leq i(j)$ и формулами (19.6) и (19.10), получаем для всех от 1 до неравенство

$\begin{align*} |b_j |^2 &\leq 2^{i(j)-1 } \cdot |b_{i(j)}^* |^2 \\ &\leq2^{n-1 } \cdot |b^*_{i(j)} |^2 \\ &\leq 2^{n-1 } \cdot |x_j |^2 . \end{align*}$

Этим доказательство предложения 19.10 заканчивается.

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Редуцированные базисы решетки. Редуцирование базиса в решетке

Редуцированные базисы решетки

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Редуцированные базисы решетки. Редуцирование базиса в решетке

Редуцированные базисы решетки

Вопросы и ответы

Студенты