Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? |
Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm
11.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. В обозначениях, введенных выше,
![]() |
( 11.16) |
![]() |
( 11.17) |
![]() |
( 11.18) |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Прежде всего докажем равенство (11.17). Для этого поставим в
соответствие каждому решению уравнения
(11.14) упорядоченное множество из
нулей
и
единиц,
построенное следующим образом: берем
нулей, затем одну единицу,
затем
нулей и одну 1 и т. д. После последней единицы
берем
нулей. Легко видеть, что построенное соответствие взаимно
однозначно и
равно числу описанных выше множеств. С другой
стороны, это
число равно числу всех
-элементных подмножеств
множества
:
подмножество
соответствует упорядоченному множеству
нулей и единиц, в котором единицы находятся на
местах
. Следовательно,
.
Любое решение уравнения (11.14) в
положительных целых числах
соответствует решению
уравнения
,
где
. Обратно, каждое
решение
последнего уравнения
соответствует решению в положительных
целых числах
уравнения (11.14).
Следовательно,




Для доказательства равенства (11.18) заметим, что
число -наборов
, у которых
и все координаты
кроме
нулевые, равно
. Значит, число элементов
, у которых
и все координаты
кроме
нулевые, равно
. Таким образом, существует
элементов
,
таких что
и ровно
координат
вектора
отличны от
нуля
. Следовательно,
. Предложение доказано.
11.7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ.
Пусть ,
,
. Обозначим через
,
число
решений
уравнения (11.14), таких,
что
, и
пусть
,
. Тогда
![]() |
( 11.19) |
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Из определения следует, что это число равно
коэффициенту при
в
многочлене
.Действительно, каждое
решение
при
уравнения (11.14) находится во
взаимно однозначном соответствии с мономом
(с коэффициентом 1),
полученным разложением многочлена
, если в
-х
скобках мы возьмем
множитель
. Следовательно,
число таких мономов равно
.
Поскольку
,
имеем
. Кроме того, так
как
в кольце формальных
степенных рядов
(это равенство является непосредственным
следствием очевидного соотношения
), то
,где (в соответствии с
вышесказанным) коэффициент
равен числу
решений
уравнения
. Следовательно, (см. предложение 11.6),
, так что
.
Это соотношение показывает, что коэффициент при
в многочлене


Обозначим
через и
соответственно число
решений
неравенства
![]() |
( 11.20) |

![]() |
( 11.21) |

11.8. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Во введенных выше обозначениях
![]() |
( 11.22) |
![]() |
( 11.23) |




Чтобы доказать (11.23), воспользуемся формулой (11.18):




