Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный
Лекция 5:

Целозначные многочлены и размерностные многочлены матриц и подмножеств в Nm

< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >

11.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. В обозначениях, введенных выше,

\mu^+(m,r) &= \binom {r-1}{m-1}, ( 11.16)
\mu(m,r)   &=\binom {m+r-1}{m-1}, ( 11.17)
\bar\mu(m,r) &=\sum_{i=1}^m2^i\binom mi\binom {r-1}{i-1}. ( 11.18)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Прежде всего докажем равенство (11.17). Для этого поставим в соответствие каждому решению (x_1,\dots, x_m) \in \mathbb N^m уравнения (11.14) упорядоченное множество из r нулей и (m-1) единиц, построенное следующим образом: берем x_1 нулей, затем одну единицу, затем x_2 нулей и одну 1 и т. д. После последней единицы берем x_m нулей. Легко видеть, что построенное соответствие взаимно однозначно и \mu(m,r) равно числу описанных выше множеств. С другой стороны, это число равно числу всех (m-1) -элементных подмножеств множества \{1,2,\dots,m+r-1\}: подмножество \{i_1,\dots,i_{m-1}\} (1\le
i_1,\dots,i_{m-1}\le m+r-1) соответствует упорядоченному множеству нулей и единиц, в котором единицы находятся на местах i_1,\dots,i_{m-1}. Следовательно, \mu(m,r)=\binom
{m+r-1}{m-1}.

Любое решение (x_1,\dots,x_m) уравнения (11.14) в положительных целых числах соответствует решению (x'_1,\dots,x'_m) \in
\mathbb N^m уравнения x_1+\dots+x_m=r-m, где x'_i=x_i-1 ( 1\le i\le m ). Обратно, каждое решение (x'_1,\dots,x'_m) \in \mathbb N^m последнего уравнения соответствует решению в положительных целых числах (x'_1+ 1,\dots,x'_m+ 1) уравнения (11.14). Следовательно,

\mu^+(m,r)=\mu(m,r-m)=\binom{r-m+m-1}{m-1}=\binom
{r-1}{m-1}.
(Заметим, что (11.16) выполняется также при r<m, так как \binom kl = 0 для k,l \in \mathbb N,  k
< l.)

Для доказательства равенства (11.18) заметим, что число m -наборов (x_1,\dots,x_m) \in
\mathbb N^m, у которых x_1+\dots+x_m=r и все координаты кроме x_{k_1},\dots,x_{k_i} (1\le i\le
m) нулевые, равно \mu^+ (i,r)
=\binom {r-1}{i-1}. Значит, число элементов (x_1,\dots,x_m)
\in \mathbb N^m, у которых |x_1|+\dots+|x_m| = r и все координаты кроме x_{k_1},\dots,x_{k_i} нулевые, равно 2^i\binom
{r-1}{i-1}. Таким образом, существует \binom mi2^i\binom
{r-1}{i-1} элементов (x_1,\dots,x_m) \in \mathbb Z^m, таких что |x_1|+|x_2|+\dots+|x_m|=r и ровно i координат вектора (x_1,\dots,x_m) отличны от нуля (i=1,2,\dots,m). Следовательно, \bar\mu(m,r)
=\sum\limits_{i=1}^m2^i\binom mi\binom {r-1}{i-1}. Предложение доказано.

11.7. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Пусть \bar u=(u_1,\dots,u_m), \bar v=
(v_1,\dots,v_m)\in\mathbb N^m, u_i\le
v_i (i=1,\dots,m). Обозначим через C_{mr}(\bar u,\bar
v) ( m,r \in \mathbb N, m \ge 1) число решений (x_1,\dots,x_m) \in \mathbb N^m уравнения (11.14), таких, что u_i \le x_i \le v_i (i=1,\dots,m), и пусть R = u_1+\dots+ u_m, d_i = v_i- u_i +
1 (1\le i\le m). Тогда

\begin{equation}
  \begin{multiline}
  C_{mr}(\bar u,\bar v) =\binom {m+r-R-1}{m-1}\\
  +\sum\limits_{k=1}^m(-1)^k\sum\limits_{\substack{
    1\le j_1<\dots<j_k\le m\\d_{j_1}+\dots+d_{j_k}\le r-R}}
    \binom {m+r-R-d_{j_1}-\dots-d_{j_k}-1}{m-1}. 
\end{multiline}
 \end{equation} ( 11.19)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Из определения C_{mr}(\bar  u,\bar  v) следует, что это число равно коэффициенту при t^r в многочлене P(t)=t^R(1+t+\dots+t^{d_1-1})(1+t+\dots+t^{d_2-1})\dots
 (1+t+\dots+t^{d_m-1}).Действительно, каждое решение (x_1,\dots,x_m) \in \mathbb N^m (u_i \le x_i\le
v_i при i=1,\dots,m) уравнения (11.14) находится во взаимно однозначном соответствии с мономом t^r (с коэффициентом 1), полученным разложением многочлена P(t), если в i -х скобках мы возьмем множитель t^{x_i-u_i} (i=1,\dots,m). Следовательно, число таких мономов равно C_{mr}(\bar u,\bar v).

Поскольку 1+t+\dots+t^{d_i-1}=
(1-t)^{-1}(1-t^{d_i}) (1\le i\le m), имеем P(t)=t^R(1-t)^{-m}\prod_{j=1}^m(1-t^{d_j}). Кроме того, так как (1-t)^{-1}=\sum\limits_{i=0}^\infty t^i в кольце формальных степенных рядов \mathbb Q[[t]] (это равенство является непосредственным следствием очевидного соотношения (1-t)\sum\limits_{i=0}^\infty t^i =
1 ), то (1-t)^{-m} = (1+t+t^2+\dots) (1+t+t^2+\dots) \dots
  (1+t+t^2+\dots) =\sum_{l=0}^\infty C_lt^l,где (в соответствии с вышесказанным) коэффициент C_l равен числу решений (x_1,\dots,x_m) \in \mathbb N^m уравнения x_1+\dots+x_m =
l. Следовательно, (см. предложение 11.6), C_l =\binom
{m+l-1}{m-1}, так что (1-t)^{-m}=\sum\limits_{l=0}^\infty\binom
{m+l-1}{m-1} t^l. Это соотношение показывает, что коэффициент при t^r в многочлене

P(t)=t^R\left\{ \sum\limits_{l=0}^\infty\binom {m+l-1}{m-1}t^l\right\} \prod\limits_{j=1}^m
   (1-t^{d_j}) \\
   = \left\{ \sum\limits_{l=R}^\infty\binom
{\thickmuskip=0mu\thinmuskip=0mu\medmuskip=0mu
   m+l-R-1}{m-1}t^l\right\} \cdot
   \left\{ 1+\sum\limits_{k=1}^m(-1)^k\!\!\!\!\sum\limits_{1\le j_1<\dots<j_k\le m}\!\!\!\!
   t^{d_{j_1}+\dots+d_{j_k}}\right\}
равен
\begin{multiline*}
  \binom {m+r-R-1}{m-1}\\
  +\sum\limits_{k=1}^m(-1)^k\sum\limits_{\substack{
   1\le j_1<\dots<j_k\le m\\d_{j_1}+\dots+d_{j_k}\le r-R}}
   \binom {m+r-R-d_{j_1}-\dots-d_{j_k}-1}{m-1}
\end{multiline*}

Обозначим через \rho(m,r) и \bar\rho(m,r) соответственно число решений (x_1,\dots,x_m) \in \mathbb N^m неравенства

\begin{equation}
  x_1+ \dots + x_m \le  r
\end{equation} ( 11.20)
и число решений (x_1,\dots,x_m) \in \mathbb Z^m неравенства
\begin{equation}
  |x_1|+\dots+|x_m|\le r,
\end{equation} ( 11.21)
(m,r \in \mathbb N;\ m>0).

11.8. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Во введенных выше обозначениях

\rho(m,r) &=\binom {r+m}m, ( 11.22)
\bar\rho(m,r) &=\sum_{i=0}^m2^i\binom mi\binom ri=
    \sum_{i=0}^m\binom mi\binom {r+i}m \notag \\
  &=\sum_{i=0}^m(-1)^{m-i}2^i
  \binom mi\binom {r+i}i. ( 11.23)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку

\rho(m,r) =\sum_{k=0}^r\mu(m,k)=\sum_{k=0}^r\binom
  {m+k-1}{m-1}=\sum_{k=0}^r\binom {m+k-1}k,
получаем (применяя (11.5) при t=m-1, n=r ), что \rho(m,r)
=   \binom {m-1+r+1}r=\binom
{r+m}m.

Чтобы доказать (11.23), воспользуемся формулой (11.18):

\begin{align*}
  \bar\rho(m,r) =&\sum_{k=0}^r\bar\mu(m,k)
    =\sum_{k=0}^r\sum_{i=0}^m2^i\binom mi\binom{k-1}{i-1}\\
  =&\sum_{i=0}^m2^i\binom mi\sum_{k=0}^r\binom{k-1}{i-1}.
\end{align*}
Так как \binom {k-1}{i-1}= 0 при k<i, имеем
\begin{align*}
   \sum_{k=0}^r\binom  {k-1}{i-1}
   &=\sum_{k=i}^r\binom {k-1}{i-1}=\sum_{q=0}^{r-i}\binom {q+i-1}{i-1}\\
   &=\sum_{q=0}^{r-i}\binom{i-1+q}q=\binom{i-1+r-i+1}{r-i}=\binom ri
\end{align*}
(см. 11.5). Таким образом, \bar\rho(m,r)
=\sum\limits_{i=0}^m2^i\binom
mi\binom ri, и остальные равенства в (11.23) немедленно следуют из (11.17) и (11.18). Предложение доказано.

< Лекция 4 || Лекция 5: 12345 || Лекция 6 >
Марина Подлевских
Марина Подлевских

Пожалуйста, проясните ситуацию. Был выбран курс " Компьютерная алгебра" для самостоятельного изучения. Как теперь записаться на этот курс с целью получения диплома о повышении квалификации? На данный момент он имеет статус " изучаю". Если я пройду экзаменационный тест в таком статусе без оформления документов и оплаты диплома, придется ли еще раз регистрироваться на этот курс и заново проходить тестирование? 

Александр Марушко
Александр Марушко
Россия
Стешков Антон
Стешков Антон
Россия, г. Гуково