НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 10: Алгоритмы факторизации, основанные на выборе малого вектора в решетке

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

А40. АЛГОРИТМ (неприводимый-множитель (f, h, g, p)).

$\begin{equation*} \text{Дано:\quad $ p\in \mathbb Z $ , $ f, h\in\mathbb Z [x] $ }\\ \text{ \qquad $ h $ - неприводимый по модулю $ p $ многочлен, делящий $ f $ по модулю $ p $ }}\\ \text{Надо: \qquad $ g $ - неприводимый над $ \mathbb Z $ многочлен, делящий $ f $ и делящийся по модулю $ p $ на $ h $ .}}\\ \text{Обозначения:\quad $ n== f $ .степень}\\ \text{\qquad $ l == h $ .степень}\\ \text{Переменные:\qquad целое $ k $} \\ \text{\qquad решетка $ L $} \\ \text{Начало}\\ \text{найден множитель := "нет"}\\ \text{цикл для $ m $ от $ l $ до $ n-1 $ пока не найден множитель}\\ \text{\qquad вычислить $ k $ , такое, чтобы выполнялось неравенство (21.30)}\\ \text{\qquad пользуясь леммой Гензеля, поднять сравнение $ h\cdot u\equiv f\kern-1pt \pmod {\kern-1pt p} $ }\\ \text{\qquad \qquad до сравнения по модулю $ p^k $ }\\ \text{\qquad получить базис решетки $ L $ по формулам (21.25)}\\ \text{\qquad редуцировать базис решетки $ L $ }\\ \text{если $ L $ .базис[1] удовлетворяет (21.31) то}\\ \text{\qquad \qquad $ g $ .степень $ := m $} \\ \text{\qquad \qquad $ g $ .коэффициенты $ := L $ .базис[1]}\\ \text{\qquad \qquad найден множитель := "да"}\\ \text{конец если}\\ \text{конец цикла}\\ \text{Конец} \end{equation*}$

Недостаток этого алгоритма заключается в том, что для каждого значения нужно применять алгоритм Гензеля, строить новую решетку и редуцировать ее базис. Следующее предложение позволяет применять алгоритм построения редуцированного базиса решетки только один раз для максимального возможного значения m=n-1 .

21.6. ПРЕДЛОЖЕНИЕ. Предположим, что обозначения выбраны так же, как и в предложении 21.5, и что выполнены те же предположения. Предположим кроме того, что существуют индексы , такие, что

$\begin{equation} |b_j | < \genfrac(){}{}{p^{kl}}{|f|^m}^{1/n} . \end{equation}$

( 21.32)

Пусть - наибольшее значение , для которого выполнено (21.32). Тогда

$\deg (h_0 ) = m+1-t,\\ h_0 =НОД(b_1 ,\dots, b_t )$

и неравенство (21.32) выполнено для всех

, таких, что $1\leq j\leq t$ .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть обозначает множество индексов $j \in \{ 1,\dots,m\}$ , для которых выполнено неравенство (21.32), $\# J$ - мощность множества . Тогда h_0 делит b_j для любого $j \in J$ , следовательно, h_0 делит многочлен $h_1 =НОД(\{ b_j\mid j \in J\} )$ . Положим $s = m -\deg (h_1 )$ . Поскольку $\deg (b_j) \leq m$ для всех $j\in J$ , эти многочлены принадлежат $\mathbb Z$ -модулю $\mathbb Z _s [x]\cdot h_1 (x)$ , ранг которого равен $s + 1 = m + 1 -\deg(h_1 )$ . В силу линейной независимости векторов b_j получаем

$\begin{equation} \# J \leq m+1-\deg(h_1 ). \end{equation}$

( 21.33)

Применяя результат задачи 7.6 к многочленам h_0 x^i

, получаем

$\[ \|h_0 x^i \| = \|h_0 \| \leq \binom{2m}m^{1/2} \cdot \|f\|\quad\text{для всех}\quad i \geq 0.$

Для $0 \leq i \leq m-\deg(h_0 )$ имеем $h_0 x^i \in L$ , так что из предложения 19.9 получаем

$\|b_j \| \leq 2^{m/2} \cdot \binom{2m}m^{1/2} \cdot \|f\|\quad \text{для}\quad 1\leq j\leq m-\deg(h_0 ).$

Из неравенства (21.30) следует, что индексы от 1 до $m + 1- \deg(h_0)$ принадлежат множеству . Поскольку h_1 делится на h_0 и выполняется неравенство (21.33), получаем $\{1,\dots, m+1-\deg(h_0 )\} \subset J$ , откуда $\deg (h_0) =\deg (h_1 )=m+1-t$ .

Остается установить, что h_1 с точностью до знака совпадает с h_0 . Для этого достаточно показать, что многочлен h_1 примитивный, т.е. наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1, а примитивность многочлена h_1 легко вытекает из примитивности хотя бы одного b_j , $j \in J$ .

Возьмем произвольный индекс $j \in J$ и пусть $d_j =\text{cont}\,(b_j )$ . Тогда многочлен b_j /d_j делится на h_0 , следовательно, $b_j /d_j \in L$ , так как $h_0 \in L$ . Поскольку b_j принадлежит базису решетки , получаем d_j = 1 .

Полученный результат используется в следующем алгоритме.

А41. АЛГОРИТМ (неприводимый-множитель (f, h, g, p)).

$\begin{equation*} \text{Дано:\quad $ p\in\mathbb Z $ , $ f,h\in\mathbb Z [x] $} \\ \text{\qquad $ h $ - неприводимый по модулю $ p $ многочлен, делящий $ f $ по модулю $ p $ }}\\ \text{Надо: \qquad $ g $ - неприводимый над $ \mathbb Z $ многочлен, делящий $ f $ и делящийся по модулю $ p $ на $ h $ .}}\\ \text{Обозначения:\quad $ n == f $ .степень}\\ \text{\qquad $ l == h $ .степень}\\ \text{Переменные:\quad \qquad цел $ k,t $} \\ \text{\qquad решетка $ L $ }\\ \text{Начало}\\ \text{найден множитель := "нет"}\\ \text{вычислить $ k $ , такое, чтобы выполнялось неравенство (21.30) для $ m=n-1 $ }\\ \text{пользуясь леммой Гензеля, поднять сравнение $ h\cdot u\equiv f \pmod p $ до сравнения по модулю $ p^k $ }\\ \text{построить базис решетки $ L $ по формулам (21.25)}\\ \text{редуцировать базис решетки $ L $} \\ \text{найти максимальное значение $ t $ , для которого $ L $ .базис $ [t] $ удовлетворяет (21.31)}\\ \text{если $ t > 0 $ то} \\ \text{\qquad $ g $ .степень $ := n-t $} \\ \text{\qquad $ g $ .коэффициенты $:= НОД$ ( $ L $ .базис[1], \dots, $ L $ .базис[t])}\\ \text{\qquad найден множитель := "да"}\\ \text{конец если }\\ \text{ Конец } \end{equation*}$

Дальше >>

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Лекция 10: Алгоритмы факторизации, основанные на выборе малого вектора в решетке

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Введение в компьютерную алгебру

Введение в компьютерную алгебру

Лекция 10: Алгоритмы факторизации, основанные на выборе малого вектора в решетке

Вопросы и ответы

Студенты