Опубликована: 05.04.2011 | Уровень: для всех | Стоимость: 990.00 руб. | Длительность: 14 дней
В курсе лекций рассматриваются основные понятия и методы вычислительной математики.
Курс содержит как лекции, посвященные классическим численным методам анализа и линейной алгебры, так и решению дифференциальных уравнений.

План занятий

ЗанятиеЗаголовок <<Дата изучения
-
Лекция 1
5 минут
Предисловие
Оглавление
    -
    Лекция 2
    1 час 6 минут
    Предмет вычислительной математики. Обусловленность задачи, устойчивость алгоритма, погрешности вычислений. Задача численного дифференцирования
    Первая лекция носит вводный характер. На простейших примерах иллюстрируются понятия численного алгоритма, устойчивость и обусловленность задачи. На примере задачи численного дифференцирования вводится метод неопределенных коэффициентов для получения приближенных формул. Рассматривается некорректность задачи численного дифференцирования.
    Оглавление
      -
      Тест 1
      36 минут
      -
      Лекция 3
      3 часа 5 минут
      Численное решение систем линейных алгебраических уравнений
      Рассматриваются наиболее употребительные приближенные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Вводятся согласованные нормы векторов и матриц. Вычисляется число обусловленности в различных нормах. Анализируется влияние ошибок округления на погрешность результата. Дается понятие о спектральных задачах. Для самосопряженной матрицы рассматривается метод вращений поиска собственных значений
      Оглавление
        -
        Тест 2
        36 минут
        -
        Лекция 4
        54 минуты
        Численное решение переопределенных СЛАУ. Метод наименьших квадратов
        В лекции рассматриваются методы решения переопределенных систем уравнений. Обсуждается вопрос о выборе базиса на погрешность результата. Вкратце описываются итерационные методы решения плохо обусловленных систем линейных уравнений.
        Оглавление
          -
          Тест 3
          36 минут
          -
          Лекция 5
          1 час 6 минут
          Численные методы решения экстремальных задач
          Рассматриваются наиболее употребительные методы поиска минимума функций нескольких переменных.
          Оглавление
            -
            Тест 4
            36 минут
            -
            Лекция 6
            1 час 57 минут
            Численное решение нелинейных алгебраических уравнений и систем
            Рассматриваются численные методы решения нелинейных уравнений и систем. На основе принципа сжимающих отображений рассматриваются условия сходимости итерационных методов. Доказывается квадратичная сходимость метода Ньютона. Рассматривается задача о динамике простейшего нелинейного дискретного отображения - логистического. Дается понятие о бифуркациях дискретного отображения.
            Оглавление
              -
              Тест 5
              36 минут
              -
              Лекция 7
              2 часа 5 минут
              Интерполяция функций
              Рассматривается задача алгебраической интерполяции. Обусловленность задачи исследуется на основе рассмотрения константы Лебега. Доказывается теорема об остаточном члене интерполяции. Выводятся формулы алгебраической интерполяции с кратными узлами. Рассматривается задача гладкого восполнения функции (локальными и нелокальными сплайнами, а также естественный базис в пространстве сплайн - функций — B - сплайны.
              Оглавление
                -
                Тест 6
                36 минут
                -
                Лекция 8
                1 час 7 минут
                Численное интегрирование
                Исследуются простейшие квадратурные формулы интерполяционного типа — прямоугольников, трапеций, Симпсона. Для оценки реальной погрешности формул используется правило Рунге. Дается понятие о квадратурных формулах Гаусса. Рассматриваются методы вычисления многомерных интегралов.
                Оглавление
                  -
                  Тест 7
                  36 минут
                  -
                  Лекция 9
                  2 часа 59 минут
                  Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
                  Подробно рассматриваются методы типа Рунге - Кутты, менее подробно — Адамса. Формулируются и доказываются утверждения об устойчивости методов Рунге - Кутты на устойчивых и нейтральных по устойчивости траекториях.
                  Оглавление
                    -
                    Тест 8
                    36 минут
                    -
                    Лекция 10
                    1 час 52 минуты
                    Численные методы решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений
                    Дается понятие жесткой системы (ЖС ОДУ). Рассматриваются неявные методы Рунге - Кутты и Гира для решения ЖС ОДУ. Исследуется устойчивость методов.
                    Оглавление
                      -
                      Тест 9
                      36 минут
                      -
                      Лекция 11
                      1 час 44 минуты
                      Численное решение краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
                      Рассматриваются численные методы решения краевых задач. На примере линейных краевых задач иллюстрируется применение различных вариантов метода прогонки — дифференциальной прогонки, разностной трехточечной прогонки, пятиточечной прогонки, матричной прогонки, периодической прогонки. Для нелинейных краевых задач рассмотрены методы стрельбы и квазилинеаризации. Дается представление о методах решения спектральных задач (задач на собственные значения). Обсуждается вопрос о применении метода Фурье при решении краевых задач для разностных уравнений, аппроксимирующих исходную дифференциальную задачу.
                      Оглавление
                        -
                        Тест 10
                        36 минут
                        -
                        5 часов
                        -