Опубликована: 05.04.2011 | Уровень: для всех | Стоимость: 990.00 руб. | Длительность: 14 дней
Рассматриваются некоторые теоретические проблемы, возникающие при разработке математического обеспечения вычислительных систем. Изучаются такие фундаментальные проблемы, как теория потоков в сетях, анализ сложности алгоритмов и сложности дискретных задач. Рассмотрены методы решения переборных задач. Даны алгоритмы решения некоторых задач на параллельной машине с произвольным доступом.
Приведены и исследованы два алгоритма решения задачи о максимальном потоке (алгоритмы Форда-Фалкерсона и Карзанова). В качестве приложения потоковых алгоритмов дан алгоритм планирования вычислений в многопроцессорных вычислительных системах. Исследован алгоритм сортировки с помощью кучи. Рассматривая в качестве модели процесса вычислений детерминированную машину Тьюринга, введены и исследованы понятия рекурсивных и рекурсивно перечислимых языков, сложностных классов языков и задач (P, NP, co-NP, NPC, NPH и др.), изучена их взаимосвязь. Рассмотрены методы доказательства NP-полноты. Даны некоторые методы решения переборных задач (метод “ветвей и границ”, рандомизированные алгоритмы, приближенные алгоритмы и др.) и показана возможность применения теории NP-полноты к разработке алгоритмов решения этих задач. Приведены и исследованы параллельные алгоритмы решения некоторых задач, связанных с работой со списками и деревьями. Для каждого из приведенных алгоритмов дается обоснование и определяется вычислительная сложность.

План занятий

ЗанятиеЗаголовок <<Дата изучения
-
Лекция 1
Потоки в сетях
Основные понятия (сеть, поток и его величина, разрез и его величина, увеличивающий путь , остаточная сеть). Алгоритм Форда-Фалкерсона решения задачи о максимальном потоке. Асимптотические обозначения.
-
Лекция 2
-
Тест 1
36 минут
-
Лекция 3
-
Тест 2
36 минут
-
Лекция 4
Распознающие алгоритмы. Класс P
Задачи распознавания свойств и языки. Детерминированная одноленточная машина Тьюринга. Рекурсивные и рекурсивно перечислимые языки. Полиномиально распознаваемые языки и класс P.
-
Лекция 5
Проверяющие алгоритмы. Классы NP и NPC
Класс NP. Соотношение между классами P и NP. Существование экспоненциального проверяющего алгоритма для языков из NP. Полиномиальная сводимость. Класс NPC. Способы доказательства NP-полноты.
-
Тест 3
36 минут
-
Лекция 6
-
Лекция 7
NP-полнота некоторых задач. Класс co-NP
Доказательство NP-полноты задач вершинное покрытие, клика, расписание без прерываний для многопроцессорной системы. Класс co-NP. Структура классов NP и co-NP.
-
Тест 4
36 минут
-
Лекция 8
Сильная NP-полнота
Задачи с числовыми параметрами. Псевдополиномиальные алгоритмы. Сильная NP-полнота и методы ее доказательства. Псевдополиномиальный алгоритм решения задачи о разбиении. Сильная NP-полнота задачи расписание без прерываний для многопроцессорной системы.
-
Лекция 9
NP-трудные и NP-легкие задачи. Приближенные алгоритмы
Сводимость по Тьюрингу. Доказательство NP-трудности и NP-легкости некоторых задач. Приближенные алгоритмы (решения задач упаковка в контейнеры и расписание без прерываний для многопроцессорной системы) и оценки их погрешности.
-
Тест 5
36 минут
-
Лекция 10
Применение теории NP-полноты к разработке приближенных алгоритмов
Невозможность существования полиномиального приближенного алгоритма с фиксированной погрешностью для некоторых NP-трудных задач. Приближенный полиномиальный алгоритм решения задачи коммивояжера с неравенством треугольника.
-
Лекция 11
Метод "ветвей и границ". Рандомизированные алгоритмы
Общее описание метода "ветвей и границ" и его реализация для решения задачи расписание без прерываний для многопроцессорной системы. Рандомизированный алгоритм решения задачи об идентичности полиномов и задачи о паросочетаниях.
-
Тест 6
36 минут
-
Лекция 12
Алгоритмы параллельных вычислений
EREW-алгоритмы решения задач определения номера элемента в списке, параллельная обработка префиксов, вычисление глубины вершины в двоичном дереве. CRCW-алгоритм решения задачи определения корня для вершины двоичного леса.
-
Лекция 13
Алгоритмы параллельных вычислений (продолжение)
CRCW-алгоритм нахождения максимального элемента в массиве. Моделирование CRCW-машины с помощью EREW-машины. Эффективная параллельная обработка префиксов.
-
Тест 7
36 минут
-
5 часов
-