НОУ ИНТУИТ | Алгоритмические основы растровой графики. Лекция 4: Параметрические кривые и их растеризация

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 23.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 37 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

4.2. Аппроксимация

Кривые Безье

В настоящее время для задач аппроксимации широко применяются кривые Безье (B'ezier) [14]. Это связано с их удобством как для аналитического описания, так и для наглядного геометрического построения (применительно к компьютерной графике это означает, что пользователь может задавать форму кривой интерактивно, т.е. двигая опорные точки курсором на экране).

Наглядный метод построения этих кривых был предложен де Кастелье (de Casteljau) в 1959 году [26]. Метод де Кастелье основан на разбиении отрезков, соединяющих исходные точки в отношении t (значение параметра), а затем в рекурсивном повторении этого процесса для полученных отрезков:

$P_i^j(t) = (1 - t)P_i^{j-1}(t) + tP_{i+1}^{j-1}(t).$

( 4.1)

Нижний индекс - номер точки, верхний индекс - уровень разбиения. Уравнение кривой n -ого порядка задается P(t) := P_0^n(t) .

Для примера построим кривую c 3 опорными точками (иногда они также называются контрольными ) (см. рис. 4.2).

Рис. 4.2. Кривая Безье с тремя опорными точками.

Обозначим опорные точки как $P_i, i \in \overline{0, 2}$ , начало кривой положим в точке P_0 (t = 0) , а конец - в точке P_2 (t = 1) ; для каждого $t \in [0, 1]$ найдем точку P_0^2(t) :

$P_0^1(t) = (1 - t)P_0 + tP_1, \\ P_1^1(t) = (1 - t)P_1 + tP_2, \\ P_0^2(t) = (1 - t)P_0^1(t) + tP_1^1(t) = \\ = {(1 - t)}^2P_0(t) + 2t(1 - t)P_1(t) + t^2P_2(t),$

таким образом, получим кривую второго порядка.

Теперь построим аналогичным методом кривую Безье с четырьмя опорными точками:

$P_0^1 (t) = (1 - t)P_0 + tP_1, \\ P_1^1(t) = (1 - t)P_1 + tP_2, \\ P_2^1(t) = (1 - t)P_2 + tP_3,$

Рис. 4.3. Кривая Безье с четырьмя опорными точками

$P_0^2(t) = (1 - t)P_0^1(t) + tP_1^1(t) = \\ = {(1 - t)}^2P_0 + 2t(1 - t)P_1 + t^2P_2, \\ P_1^2(t) = (1 - t)P_1^1(t) + tP_2^1(t) = \\ = {(1 - t)}^2P_1 + 2t(1 - t)P_2 + t^2P_3, \\ P_0^3(t) = (1 - t)P_0^2(t) + tP_1^2(t) = \\ = {(1 - t)}^2P_0^1(t) + 2t(1 - t)P_1^1 (t) + t^2P_2^1(t) = \\ ={(1 - t)}^3P_0 + 3t{(1 - t)}^2P_1 + 3t^2(1 - t)P_2 + t^3P_3.$

Запишем общее аналитическое представление для кривой Безье с N + 1 опорной точкой:

$P^N(t) =\sum\limits_{i=0}^{N}B_i ^N(t) \cdot P_i, \mbox{ где}$

( 4.2)

$B_i ^N(t) = C_i ^N \cdot t^i(1- t)^{N-i}, \mbox{ где}$

$C_i ^N =\frac{N!}{i!(N - i)!} \mbox{ - биномиальные коэффициенты.}$

B_i ^N(t) называются базисными многочленами Бернштейна N - й степени (а также весовыми функциями Безье-Бернштейна). На рис. 4.4 и 4.5 изображены многочлены Бернштейна 3-й и 4-й степеней.

Рис. 4.4. Базисные функции Бернштейна 3-й степени

Рис. 4.5. Базисные функции Бернштейна 4-й степени

Свойства кривых Безье

Инвариантность относительно аффинных преобразований.
Инвариантность относительно линейных замен параметризации
$t = \frac{x-a}{b-a}.$
Кривая Безье принадлежит выпуклой оболочке опорных точек (следует из геометрического способа построения).
Следствие. Если все опорные точки лежат на одной прямой, то кривая Безье вырождается в отрезок, соединяющий эти точки.
Кривая Безье проходит через P₀ и P_N.
Симметричность: если рассматривать контрольные точки в противоположном порядке, то кривая не изменится.
Степень многочлена, представляющего кривую в аналитическом виде, на 1 меньше числа опорных точек.
Касательные в точках P₀ и P_N коллинеарны $\overrightarrow{P_0P_1}$ и $\overrightarrow{P_{N-1}P_N}$ , соответственно.