Дележ, отвечающий аксиомам Нэша

Сделки с побочными платежами

Согласно сделанному выше предположению (см. замечание в "Сделки без побочных платежей" , функции выигрышей сторон можно интерпретировать как линейно трансферабельные полезности. Однако в предшествующем рассмотрении (при определении допустимого множества S из (14.6)) было введено ограничение, запрещавшее обмен полезностями между сторонами. Теперь мы рассмотрим случай, когда такого ограничения нет. При этом передача полезностей от одного игрока к другому не изменяет их суммарной полезности.

Допустимость обмена полезностями расширяет круг возможных договоренностей игроков, поскольку становятся реализуемыми сделки , если они удовлетворяют условию

где p и , соответственно из (14.2)-(14.4). Т.е. получаемая сторонами суммарная полезность из правой части равенства (15.23) может быть перераспределена между ними в согласованную пару (u,v) за счет побочных платежей.

Это обстоятельство определяет заинтересованность сторон в согласованной реализации такой стратегии p⁺ из (14.2), которая максимизирует суммарную полезность:

Задача оценки величины (15.24) эквивалентна линейной программе вида При этом решению одной из задач (15.24), (15.25) можно сопоставить решение другой из этих задач таким образом, что будут выполняться условия

Заметим, что в случае, когда допустимое множество S представляет собой плоский многоугольник (как это имеет место в случае биматричных игр), решение задачи (15.25) достигается в одной из неулучшаемых вершин этого многоугольника. Т.е. максимальная возможная величина суммарной полезности может быть достигнута в чистых стратегиях.

Исходя из реализуемости максимального значения из (15.22) и руководствуясь основными идеями схемы Нэша, перейдем к вопросу об оценке сделки (u₊,v₊), которую будут готовы согласовать стороны P₁ и P₂ с учетом побочных платежей. При этом будем полагать, что

и передача полезностей от одной стороны к другой характеризуется побочными платежами Первый из них соответствует части выигрыша, которую получает (или передает) сторона P₁, а второй указывает аналогичную величину для стороны P₂. Отметим, что согласно (15.25)-(15.27), .

При этих предположениях стороны могут согласовать любую сделку из множества

которое заведомо не пусто. В силу простоты треугольного множества S₊, сделка удовлетворяющая аксиомам Нэша, может быть определена как решение системы двух уравнений Отсюда что позволяет оценить также побочные платежи из (15.27).

Пример 3.2. Вернемся к задаче о строительстве с долевым участием (см. "Стратегическое равновесие в 2 x 2 играх" ) и введем новые платежные функции сторон, представленные в табл. 3.2. Пары чистых стратегий ( i=1, j=1 ) и ( i=2, j=2 ), соответствующие двум возможным районам строительства гостиничного комплекса с долевым участием, по-прежнему обладают свойствами устойчивости и эффективности. Однако, как мы уже указывали, при этом нет механизма выбора конкретной пары. Матрицы отражают также, что в случае отказа от строительства комплекса стороны используют свои средства для развития системы предприятий обслуживания. При этом сторона P₁ несет убытки, если она развивает предприятия в "своем" (достаточно насыщенном услугами) районе Р1.

Допустимое множество S для рассматриваемой задачи представлено на рис. 3.9.

Точка , оцененная в соответствии с выражениями (14.7), (14.10) и (11.10), также отмечена на рис. 3.9. Дележ

удовлетворяющий аксиомам Нэша в задаче без побочных платежей, определен с помощью приема из замечания 3.3 этой лекции (отмечен на рисунке). Этот дележ реализуем рулеткой вида

Далее, (u⁺,v⁺)=(3,4), и, согласно (15.30), (u₊,v₊)=(91/24,77/24). Т.е. (в случае договоренности) стороны согласованно реализуют пару чистых стратегий ( i=2, j=2 ), и затем вторая сторона выплачивает первой стороне часть своего выигрыша, которой соответствует полезность .