Теорема 1.3. Пусть выполняются условия
![0<\lambda\le 1/2(1+\sqrt{5}),](/sites/default/files/tex_cache/e3939cdd7a938aa2c0a801fbc989ee50.png) |
(
5.11)
|
![p_\text{eq}<p_{t-1}<p_{\max},](/sites/default/files/tex_cache/2c6009c37a758680410edaba370dde69.png) |
(
5.12)
|
где
![\lambda](/sites/default/files/tex_cache/c6a6eb61fd9c6c913da73b3642ca147d.png)
из (5.2). Тогда закупка
спекулянтом в момент
t партии товара объемом
![\Delta](/sites/default/files/tex_cache/967878d1da852d4b07a961e3168b0fff.png)
из (5.6) с целью продажи этой
партии в момент
t+1 по цене
pt+1 обеспечивает выполнение
условий (5.9), если
значение коэффициента
![\gamma>0](/sites/default/files/tex_cache/d4781ff89a7232aa62ed606124983608.png)
лежит в интервале
![\Gamma_1<\gamma=\gamma(t)<\Gamma_2,](/sites/default/files/tex_cache/15b342a4ee4c625f79c42a5677279102.png) |
(
5.13)
|
где
![\Gamma_1=\theta(\lambda-1)/\lambda,\quad \Gamma_2=\theta \lambda^2/(\lambda+1)^2,](/sites/default/files/tex_cache/e886aea0d4280961f441f54642020343.png) |
(
5.14)
|
![\theta=\theta(t)=1-D(p_{t-1})/S(p_{t-1}).](/sites/default/files/tex_cache/5b2addf65e7676830679bb5c64717beb.png) |
(
5.15)
|
Доказательство 1. Для выполнения входящего
в (5.9) неравенства pt<peq,
где, согласно (4.6) и (5.2),
![p_\text{eq}=(p_{\max}+\lambda c)/(1+\lambda),](/sites/default/files/tex_cache/e216f43f43c77ec1f978c0f042b3b927.png) |
(
5.16)
|
необходимо и достаточно выполнения условия
D(pt)>D(peq).
Последнее условие в сочетании с равенствами (4.5) и (5.7) ведет к
соотношениям
Отсюда следует
неравенство
приводимое, с учетом (4.3), к виду
![B(p_{t-1}-p_\text{eq})>\gamma S(p_{t-1}).](/sites/default/files/tex_cache/dade896e0a8731fb2cd41631eb277e37.png) |
(
5.17)
|
Поскольку, согласно (4.1), (4.3), (5.15) и (5.16),
то требование (5.17) представимо в виде неравенства
![\gamma<\theta \lambda /(1+\lambda),](/sites/default/files/tex_cache/7a47aef775526189bf66b8fc2d3d0f0d.png) |
(
5.18)
|
которое заведомо выполняется при
![\gamma<\Gamma_2](/sites/default/files/tex_cache/ef19af16ed8526cf15177a1c42d46009.png)
;
см. (5.13), (5.14).
При этом, согласно (5.12) и (5.15),
![0<\theta<1,](/sites/default/files/tex_cache/db944651a6632d506125c861ef97db66.png) |
(
5.19)
|
поскольку
D(pt-1)<S(pt-1) при
peq<pt-1.
2. Из (4.1) и (5.7) вытекает,
что при pt-1>peq
![\begin{aligned}
&p_t=[Ap_{\max}-(1-\gamma)S(p_{t-1})]/A=\\
&=[D(p_{t-1})-S(p_{t-1})+\gamma S(p_{t-1})]/A+p_{t-1}=\\
&=\lambda (p_{t-1}-c)(\gamma-\theta)+p_{t-1}.\\
\end{aligned}](/sites/default/files/tex_cache/46f51d1378cb9b4f0ce6997985955e4a.png) |
(
5.20)
|
Отсюда следует, что для выполнения входящего в (5.9)
неравенства
pt>pmin=c должно выполняться условие
Это условие заведомо выполняется, если коэффициент
![\gamma](/sites/default/files/tex_cache/ae539dfcc999c28e25a0f3ae65c1de79.png)
удовлетворяет левому неравенству из (5.13), поскольку
pt-1>c и,
согласно (5.19),
![\theta(\lambda-1)/\lambda>(\lambda\theta-1)/\lambda](/sites/default/files/tex_cache/0593bb45dde09bc5d349a0218d068855.png)
.
3.Условие pt+1>peq, входящее в (5.9),
равносильно отношению D(pt+1)<S(peq), которое,
учитывая (5.8), приводимо к виду:
или
![\gamma S(p_{t-1})<B(p_\text{eq}-p_t).](/sites/default/files/tex_cache/99a5594bbca8042c61bdf9a7a58f5ef7.png) |
(
5.21)
|
Из (4.2), (4.6) и (5.20) следует, что
Подставляя правую часть этого равенства в (5.21), выводим,
что
pt+1>peq, если
Последнее условие эквивалентно требованию
![\gamma<\Gamma_2](/sites/default/files/tex_cache/ef19af16ed8526cf15177a1c42d46009.png)
.
4. Условие pt+1<pt-1, входящее в (5.9) и
обеспечивающее "скрутку" паутины, равносильно неравенству D(pt+1)>D(pt-1), которое, согласно (5.8), можно
записать в виде:
![S(p_t)+\gamma S(p_{t-1})>D(p_{t-1}).](/sites/default/files/tex_cache/61e86fcdc6cae6dfd33be64632067d1a.png) |
(
5.22)
|
Из (4.2), (5.2) и (5.20) выводим, что
Подставляя правую часть полученного выражения в (5.22), выводим
неравенство
для справедливости которого достаточно выполнения условия
Последнее условие заведомо выполняется при
![\gamma>\Gamma_1](/sites/default/files/tex_cache/3fe8bff7a803403377798b083a12b915.png)
, где
![\Gamma_1](/sites/default/files/tex_cache/fe8f90a840e31016c7147f5f7e1bb231.png)
из (5.14). В заключение отметим, что
интервал (5.13) не
пуст (т.е.
![\Gamma_1<\Gamma_2](/sites/default/files/tex_cache/6f2b0f82d2e1e375f14ff8574d3538d8.png)
при значениях
![\lambda](/sites/default/files/tex_cache/c6a6eb61fd9c6c913da73b3642ca147d.png)
из
диапазона (5.11).