Опубликован: 20.04.2011 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 13:

Системы с ожиданием

< Лекция 12 || Лекция 13: 123 || Лекция 14 >

Принцип Мо для систем с ожиданием

Mo сначала предложил свой принцип для систем организации очереди. Он изучил времена ожидания абонентов для оператора на ручных станциях Копенгагенской Телефонной Компании.

Рассмотрим k независимости систем организации очереди. Вызов, обслуживаемый во всех k системах, имеет полное среднее времени ожидания

\sum_i W_i,

где W_i - среднее время ожидания i -той системы, которая имеет n_i обслуживающих приборов и предложенную нагрузку A_i. Стоимость канала равна переменной стоимости c_i плюс постоянная стоимость, выраженная константой C_0. Таким образом, общая стоимость каналов равна:

C=C_0+\sum_{i=1}^kn_ic_i. ( 12.23)

Если время ожидания также рассматривать как стоимость, то общая стоимость будет равна f=f (n_1, n_2 , \dots, n_k ) . Она должна быть свернута как функция числа n_i каналов в отдельные системы. Если полное среднее время ожидания - W, то распределение каналов по отдельным системам определяется:

min\{f(n_1, n_2, \dots, n_k)\}=min \{C_0+\sum_in_ic_i+ \vartheta *\left(\sum_iW_i-W \right) \} ( 12.24)

где \vartheta (тета) - множитель Лагранжа.

Величина n_i является неотъемлемой частью необходимого условия для определения минимума, и можно показать, что в этом случае достаточным условием для минимума являются следующие неравенства :

0 < f(n_1, n_2, \dots, n_i-1, \dots, n_k)-f(n_1, n_2, \dots, n_i, \dots, n_k),\\
0 \ge f(n_1, n_2, \dots, n_i, \dots, n_k)-f(n_1, n_2, \dots, n_i+1, \dots, n_k), ( 12.25)

что соответствует:

W_{n_i-1}(A_i)-W_{n_i}(A_i) > \frac{c_i}{\vartheta},\\
W_{n_i}(A_i)-W_{n_i+1}(A_i) \le \frac{c_i}{\vartheta}, ( 12.26)

где W_{ni} (A_i ) показано в (12.15).

Выраженное с помощью функции увеличения времени ожидания F_{W,n} (A) (12.22) оптимальное решение равно:

F_{W,n_i-!}(A) > \frac{c_i}{\vartheta} \ge F_{W, n_i}(A), i=1,2,\dots, k ( 12.27)

Функция F_{W, n} (A) сведена в таблицу в Принципе Мо (Jensen, 1950 [50] ). Подобная оптимизация может быть проведена для других функций увеличения.

Пример 12.3.1: Система с ожиданием

Мы рассматриваем две различных M/M/n системы организации очереди. Первая имеет среднее время обслуживания 100 с и предложенную нагрузку 20 Эрл. Отношение стоимости c_1/ \vartheta равно 0,01. Вторая система имеет среднее время обслуживания, равное 10 с, и предложенную нагрузку 2 Эрл. Отношение стоимости равняется c_2 /\vartheta = 0,1. Таблица функции увеличения F_W,n (A) дает:

n_1 = 32 канала и

n_2 = 5 каналов.

Средние времена ожидания:

W_1 = 0,075 сW_2 = 0,199 с.

Это показывает, что вызов, который обслуживается в обеих системах, имеет полное среднее время ожидания 0,274 с и что система с меньшим количеством каналов вносит больший вклад в среднее время ожидания.

Стоимость ожидания связана с отношением стоимости. Инвестируя больше в вышеупомянутую систему, мы уменьшаем затраты независимо от системы организации очереди. Необходимо идти на вложения, пока получаем прибыль. Исследования Мо в течение 1920-ых годов показали, что среднее время ожидания для абонентов маленьких станций с немногими операторами должно быть большим, чем среднее время ожидания при больших станциях со многими операторами.

Распределение времени ожидания для M/M/n при дисциплине FCFS

Системы организации очереди, где дисциплина обслуживания зависит от времени поступления вызовов, все имеют одни и те же средние времена ожидания. В этом случае стратегия влияет только на распределение времен ожидания для каждого отдельного клиента. Исследование распределения времени ожидания упрощается в случае дисциплины FCFS (First Come First Served - "Первый прибыл - Первый обслужен"). Эта же дисциплина обозначается FIFO (First In First Out). Она также называется дисциплина обслуживания в порядке поступлении. Но если обслуживающих приборов много, заявка может не обязательно покинуть обслуживающий прибор первой. Тогда дисциплина в порядке поступления рассматривается в соответствии с принципом, чтобы время выхода из очереди и начало освобождения обслуживающего прибора была началом обслуживания другой заявки.

Рассмотрим произвольный вызов. По прибытию в систему вызов или обслуживается немедленно, или должен ждать в очереди (12.6).

Предположим, что вызов, который мы рассматриваем, должен ждать в очереди, то есть система может быть в состоянии [n + k], (k = 0, 1, 2, \dots) , где k - число занятых мест ожидания как раз перед поступлением вызова.

Наш вызов должен ждать, пока будет завершено обслуживание k + 1 вызовов, прежде чем станет доступным свободный обслуживающий прибор. Когда все n обслуживающих приборов работают, система завершает обслуживание вызовов с постоянной скоростью n \mu, то есть процесс выхода вызовов из обслуживания является Пуассоновским процессом с данной интенсивностью. Мы используем отношения между числовым представлением и представлением с помощью интервала (5.4). Вероятность p(W \le t) = F(t) , что положительное время ожидания t превосходит заданную величину, равна вероятности того, что в Пуассоновском потоке вызовов с интенсивностью n \mu, по крайней мере, (k+1) вызовов поступят в течение интервала t (6.1):

F(t|k \quad waiting)=\sum_{i=n+1}^{\infty} \frac{(n \mu t)^i}{i!}*e^{-n \mu t}. ( 12.28)

Вышеупомянутое равенство справедливо при условии, что наш вызов должен ждать в очереди. Условная вероятность, что наш вызов поступит, когда все n обслуживающих приборов заняты и имеется k обслуживаемых вызовов (k=1,2, \dots) , такова:

p_w(k)=\frac{\lambda p(n+k)}{\lambda \sum_{i=0}^{\infty}p(n+i)}=\frac{p(n)*(\frac An)^k}{p(n)*\sum_{i=0}^{\infty}(\frac An)^i}\\
=(1- \frac An)(\frac An)^k, k=0,1, \dots. ( 12.29)

Это геометрическое распределение, включая нулевой класс (табл. 6.1). Безусловное распределение времени ожидания тогда равно:

F(t)=\sum_{k=0}^{\infty}p_w(k)*F(t|k), ( 12.30)
F(t)=\sum_{k=0}^{\infty} \left \{(1-\frac An)(\frac An)^k*\sum_{i=k+1}^{\infty} \frac{(n \mu t)^i}{i!}e^{-n \mu t} \right \}\\
=e^{-n \mu t}\sum_{i=1}^{\infty} \left \{ \frac{(n \mu t)^i}{i!}*\sum_{k=0}^{i-1}(1-\frac An)(\frac An)^k \right \},

Когда все элементы - положительные вероятности, мы можем поменять порядок суммирования. Внутренняя сумма является геометрической прогрессией:

\sum_{k=0}^{i-1}(1-\frac An)(\frac An)^k=(1-\frac An)*\sum_{k=0}^{i-1}(\frac An)^k\\
=(1-\frac An)*1*\frac{1-(A/n)^i}{1-(A/n)}\\
=1-(\frac An)^i.

Подставляя результат этой суммы, мы получаем:

F(t)=e^{-n \mu t}* \sum_{i=1}^{\infty} \frac{(n \mu t)^i}{i!} \left \{1-(\frac An)^i \right \}\\
=e^{-n \mu t} \left \{ \sum_{i=0}^{\infty} \frac{(n \mu t)^i}{i!}-\sum_{i=0}^{\infty} \frac{(n \mu t)^i}{i!} (\frac An)^i \right \}\\
=e^{n \mu t}\{e^{n \mu t}-e^{n \mu t*A/n}\},
F(t)=1-e^{-(n-A)\mu t},\\
F(t)=1-e^{-(n \mu - \lambda)t}, n > A, t > 0. ( 12.31)

то есть экспоненциальное распределение. Очевидно, существует парадокс - при поступлении вызова в систему со всеми ранее занятыми обслуживающими приборами можно:

  1. рассчитать число k ждущих клиентов. Полное время ожидания тогда будет (к+1) - Эрланговское распределение;
  2. если не учитывать этих ждущих клиентов, то время ожидания становится экспоненциально распределенным.

Интерпретация этого факта - то, что взвешенная сумма распределений Эрланга с геометрически распределенными коэффициентами веса эквивалентна экспоненциальному распределению. На рис.12.3 показана диаграмма состояний для (12.30), и мы можем заметить, что она может быть сведена к единственному экспоненциальному распределению (секция 4.4.2 и рис.4.9). Формула (12.31) подтверждает, что среднее время ожидания w_n для клиентов, которые должны ждать в очереди, определяется выражением, показанным в (12.17).


Рис. 12.3.

Распределение общее время ожидания (для произвольного вызова) равно (3.19):

F_s(t)=1-E_{2,n}(A)*e^{-(n-A)\mu t}, A < n, t \ge 0, ( 12.32)

и средняя величина этого распределения - W_n, в соответствии с (12.15).

Время пребывания в системе в случае одного обслуживающего прибора

Когда имеется только один обслуживающий прибор, вероятности состояния (12.2) представляются рядом геометрической прогрессии p(i)=(1 -A)^i \times Ai (12.18) для всех i \ge 0. Каждый вызов занимает экспоненциально распределенный временной интервал с интенсивностью \lambda в каждом состоянии. Вызов, который поступает в систему в состоянии [i] , должен остаться в системе, интервал времени распределен по закону Эрланга - (i+1) . Поэтому время пребывания в системе (время ожидания + время обслуживания), которое также называется временем реакции, является экспоненциально распределенным с интенсивностью (\mu - \lambda) . (см. рис. 4.9):

F(t)=1-e^{-(\mu - \lambda)t}, \mu > \lambda, t \ge 0. ( 12.33)

Это идентично распределению времени ожидания задержанных вызовов. Среднее время пребывания может быть получено непосредственно, используя W_1 из(12.20) и среднее время обслуживания s:

m=W_1+s=\frac{As}{1-A}+s,\\
m=\frac{s}{1-A}=\frac{1}{\mu - \lambda}, ( 12.34)

где \mu = 1/s - скорость обслуживания. Заметим, что среднее время пребывания в системе равно среднему времени ожидания для задержанных клиентов (12.17).

Модель восстановления машин (модель Пальма)

Эта модель принадлежит классу циклических систем организации очереди и соответствует чистой системе с ожиданием с ограниченным числом клиентов (смотрите распределение Энгсета для случая систем с потерями).

Первым в 1933 г. эту модель рассмотрел Гнеденко и в 1934 г. опубликовал статью. Метод стал широко известен, когда в 1947 г. C. Пальм издал статью [80] с теоретическим анализом распределения трудовых ресурсов,

Плотность распределения для распределения времени ожидания при дисциплинах организации очереди FCFS, LCFS1 и SIRO (случайная). Во всех трех случаях среднее время ожидания для задержанных вызовов - 5 единиц времени. Коэффициент формы - 2 для FCFS, 3.33 - для LCFS и 10 - для SIRO. Число обслуживающих приборов - 10, и предложенная нагрузка - 8 Эрл. Среднее время обслуживания s = 10 единиц времени.

Рис. 12.4. Плотность распределения для распределения времени ожидания при дисциплинах организации очереди FCFS, LCFS1 и SIRO (случайная). Во всех трех случаях среднее время ожидания для задержанных вызовов - 5 единиц времени. Коэффициент формы - 2 для FCFS, 3.33 - для LCFS и 10 - для SIRO. Число обслуживающих приборов - 10, и предложенная нагрузка - 8 Эрл. Среднее время обслуживания s = 10 единиц времени.

обслуживающих автоматы. Множество S машин, которые обычно работают автоматически, обслуживается n ремонтниками. Машины могут сломаться, и тогда понадобится ремонтник, чтобы запустить их в работу снова. Проблема состоит в том, чтобы определить число ремонтников в зависимости от числа машин так, чтобы общие стоимости были минимизированы (по-другому это называется "оптимизированная прибыль"). Машины могут быть, например, текстильными машинами, которые останавливаются, когда заканчивается нить; ремонтники тогда должны заменить пустую бобину машины полной.

Эту модель восстановления машин, или модель взаимного влияния машин, рассматривал Feller (1950 [27] ). Модель соответствует организации очереди в простой закрытой сети и успешно применяется, чтобы решить технические проблемы нагрузки в компьютерных системах. В системе обозначений Кендалла (Лекция 13) система организации очереди обозначается M/M/n/S, где S - число клиентов и n - число обслуживающих приборов.

Модель широко применяется на практике. В сети машины соответствуют вызовам, тогда как "ремонтники" предстают обслуживающими приборами, а "ремонтник" представляется компьютером, управляющим терминалами. В компьютерной си стеме машина может соответствовать программам, хранящимся на диске, а ремонтники представляют каналы ввода-вывода ( ввод-вывод ). Далее мы рассмотрим систему компьютерных терминалов, как основу для развития теории.

Система оконечных устройств

Режим разделения времени - лучшее решение для оптимального обслуживания большой группы источников нагрузки использующих, например, терминалы, подключенные к универсальному компьютеру. Отдельный пользователь должен чувствовать себя так, как будто он - единственный пользователь компьютера (рис.12.5).

 Модель восстановления машин Пальма. Компьютерная система с S терминалами (диалоговая система) соответствует системе с ожиданием и с ограниченным числом источников (см. случай Энгсета для систем с потерями).

Рис. 12.5. Модель восстановления машин Пальма. Компьютерная система с S терминалами (диалоговая система) соответствует системе с ожиданием и с ограниченным числом источников (см. случай Энгсета для систем с потерями).

Отдельный терминал находится все время в одном из двух состояний (диалоговый режим) (рис.12.6):

  • пользователь думает (работает), или
  • пользователь ждет ответа от компьютера. Временной интервал, когда пользователь думает, является случайной
 Отдельный терминал может быть в трех различных состояниях. Любой пользователь может работать активно на терминале (или думать), или он ждет ответа от компьютера. Последний временной интервал (время реакции) разделен на две фазы: фаза ожидания и фаза обслуживания.

Рис. 12.6. Отдельный терминал может быть в трех различных состояниях. Любой пользователь может работать активно на терминале (или думать), или он ждет ответа от компьютера. Последний временной интервал (время реакции) разделен на две фазы: фаза ожидания и фаза обслуживания.

Временной интервал, когда пользователь думает, является случайной переменная T_t со средней величиной m_t. Временной интервал, когда пользователь ждет ответа от компьютера, называется временем реакции R. Он включает в себя временной интервал T_w (средняя величина m_w ), в котором работа ждет получения доступа к компьютеру, и непосредственно время обслуживания T_s (средняя величина m_s ).

T_t +R называются временем обращения (рис.12.6). В конце этого временного интервала терминал возвращается к тому же самому состоянию, т.е. к левой стороне в начале интервала (текущее событие). Далее нас интересуют, главным образом, средние величины и характеристики, которые справедливы для всех дисциплин организации очереди, не нарушающих нормальную работу (секция 13.4.2).

Вероятности состояния одного обслуживающего прибора

Рассмотрим теперь систему с S терминалами, которые связаны с одним компьютером. Предполагается, что времена размышления абонента для каждого терминала экспоненциально распределены с интенсивностью \gamma = 1/m_t и время обслуживания (выполнение компьютером работы) распределено экспоненциально с интенсивностью \mu = 1/m_s. Когда есть очередь в компьютере, терминалы должны ждать обслуживания. Обслуживаемые терминалы или ждущие в очереди имеют нулевую интенсивность поступления.

Состояние [i] определено как состояние, где в системе организации очереди (рис.12.5) есть i терминалов, то есть компьютер либо свободен ( i = 0 ), либо работает ( i > 0 ), и ( i - 1 ) терминалов ждут все время, пока ( i >  0 ).

Система организации очереди может быть смоделирована процессом "гибели и размножения" и диаграммой перехода состояний, показанной на рис.12.7. Существует статистическое равновесие (эргодическая система). Интенсивности поступления заявок уменьшается, по мере того как длина очереди увеличивается, и интенсивность становится нулевой, когда все терминалы стоят в очереди.

 Диаграмма переходов для системы организации очереди, показанной в 12.5. Состояние [ i ] обозначает число терминалов, которые либо обслуживаются, либо ожидают обслуживания, то есть S- i обозначает число терминалов, где пользователь либо размышляет, либо работает непосредственно с компьютером.

Рис. 12.7. Диаграмма переходов для системы организации очереди, показанной в 12.5. Состояние [ i ] обозначает число терминалов, которые либо обслуживаются, либо ожидают обслуживания, то есть S- i обозначает число терминалов, где пользователь либо размышляет, либо работает непосредственно с компьютером.

Устойчивые вероятности состояния могут быть найдены, по рис.12.7, с помощью уравнения сечения и выражены с помощью числа состояний S:

(S-i) \gamma *p(i)= \mu *p(i+1), i=0,1, \dots, S. ( 12.35)

Согласно дополнительным ограничением нормировки, подставляя \varrho = \mu / \gamma, находим сумму всех вероятностей, которая равна:

p(S-i)=\frac{\varrho^i}{i!}p(S)\\
=\frac{\frac{\varrho^i}{i!}}{\sum_{j=0}^S \frac{\varrho^j}{j!}}, i=0,1,\dots, S, ( 12.36)
p(0)=E_{1,S}(\varrho). ( 12.37)

Это - усеченное Пуассоновское распределение (7.9).

Мы можем интерпретировать систему следующим образом. Группе с S пучками каналов (терминалами) поступают вызовы от компьютера с экспоненциально распределенными интервалами поступления (интенсивность) \mu.

Когда все S пучков каналов заняты (пауза на размышление или ввод), компьютер свободен, и интенсивность поступления нулевая, но мы могли бы предположить, что все пучки еще генерируют вызовы с интенсивностью \mu, которые потеряны в этой или другой группе пучков каналов (экспоненциальное распределение не имеет памяти). Компьютер, таким образом, предлагает нагрузку \varrho =\mu / \gamma S пучкам каналов, и мы имеем формулу (12.37). B-формула Эрланга справедлива для произвольных времен пребывания в системе (секция 7.3.3), и поэтому можно утверждать, что:

Теорема 12.1. Вероятности состояния модели восстановления машин (12.36) и (12.37) с одним компьютером и S терминалами справедливы в течение произвольных времен пауз (размышления и работа с компьютером), когда времена обслуживания компьютером являются экспоненциально распределенными.

Отношение \varrho=\mu / \gamma: это отношение среднего времени, когда пользователь терминала думает 1/  \gamma, и среднего времени, когда компьютер обслуживает терминал 1/ \mu. Это отношение называется сервисным отношением. В B-формуле Эрланга сервисное отношение соответствует предложенной нагрузке. Вероятности состояния определяются числом терминалов S и сервисного отношения. Вычисление по формулам (12.36) и (12.37) проводится, как и в B-формуле (7.29) Эрланга.

Пример 12.5.1: Информационная система

Мы рассматриваем информационную систему, которая организована следующим образом. Вся информация хранится на 6 дисках, которые связаны с одним и тем же терминалом мультиплексорным каналом ввода-вывода данных. Среднее время поиска (определение месторасположения производится вручную) - 3 мс. Среднее время задержки, чтобы определить местонахождение файла - 1 мс, соответствующее время вращения - 2 мс, время считывания файла - экспоненциально распределенное со средней величиной 0,8 мс, дисковое хранение основано на определении месторасположения путем считывания при вращении диска так, чтобы канал был занят только в период чтения. Мы хотим найти максимальную производительность системы (число запросов в секунду). Время паузы на раздумье и работу с терминалом 4 мс, и время обслуживания - 0,8 мс, сервисное отношение, таким образом, равно 5.

B-формула Эрланга дает значение:

1-p(0)=1-E_{1,6}(5)=0.8082.

Это соответствует \gamma_{Maкc.}=0.8082/0.0008=1010 запросов в секунду.

< Лекция 12 || Лекция 13: 123 || Лекция 14 >
Нияз Сабиров
Нияз Сабиров

Здравствуйте. А уточните, пожалуйста, по какой причине стоимость изменилась? Была стоимость в 1 рубль, стала в 9900 рублей.

Елена Сапегова
Елена Сапегова

для получения диплома нужно ли кроме теоретической части еще и практическую делать? написание самого диплома требуется?

Иван Бузмаков
Иван Бузмаков
Россия, Сарапул
Никита Сомов
Никита Сомов
Россия, Удмуртская республика