Дифференциальные уравнения: Информация
Автор: Александр Абрамов | Московский физико-технический институт
Форма обучения:
дистанционная
Стоимость самостоятельного обучения:
бесплатно
Доступ:
свободный
Документ об окончании:
Вам нравится? Нравится 37 студентам
Уровень:
Специалист
Длительность:
5:00:00
Студентов:
2223
Выпускников:
156
Курс содержит основные сведения, которые используются далее в теории уравнений математической физики и непосредственно при решении конкретных задач математики, физики и различных прикладных областей.
В курсе излагаются основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и методы решения основных типов уравнений. Курс включает также некоторые начальные сведения из вариационного исчисления.
Темы: Математика
Специальности: Математик
Теги: дифференциальные уравнения, теория
Предварительные курсы
План занятий
Занятие
Заголовок <<
Дата изучения
Простейшие типы уравнений
В лекции даются основные понятия теории дифференциальных уравнений. Вводятся уравнения первого порядка, уравнения в полных дифференциалах и уравнения с разделяющимися переменными.
Оглавление
- Введение
- Методы решения некоторых типов ураввнений
- Основные понятия
- Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка
- Определение решения обыкновенного дифференциального уравнения
- Определение общего решения
- Неявная функция
- Обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка разрешенное относительно производной
- Геометрическая интерпретация
- Поле направлений
- Задача Коши
- Теорема существования и единственности задачи Коши
- Дифференциалы
- Уравнение в дифференциалах
- Задача Коши для уравнения в дифференциалах
- Уравнения в полных дифференциалах
- Пример на плоскости без начала координат
- Типы уравнений в полных дифференциалах - уравнения с разделенными переменными
- Уравнение с разделяющимися переменными
- Примеры
- Задача
- Литература
-
Уравнения в полных дифференциалах
Лекция посвящена уравнениям в полных дифференциалах. В ней даются условие интегрируемости Клеро-Эйлера, метод лагранжа вариации постоянных. Рассказывается о решениях в квадратурах, задаче Коши и методе введения параметра.
Оглавление
- Введение
- Уравнение в полных дифференциалах
- Теорема существования для уравнения в полных дифференциалах
- Иллюстрация к доказательству
- Условие интегрируемости Клеро-Эйлера
- Определение интегрирующего множителя
- Другие простые типы уравнений
- Однородное уравнение
- Линейные уравнения (метод лагранжа вариации постоянных)
- Задача Коши для линейного уравнения
- Замечания о формулах в квадратурах
- Задача для уравнения Бернулли
- Замечания о неразрешимости в квадратурах
- Замечания о методе введения параметра
- Задача Коши для уравнения с параметром (две эквивалентные формулировки)
- Метод введения параметра
- Пример уравнения Лагранжа
-
Уравнения высших порядков
В лекции рассказывается об использование инвариантности уравнения относительно группы преобразований для понижения порядка уравнения. Изучаются некоторые конкретные типы уравнений, допускающих понижение порядка.
Оглавление
- Введение
- Уравнения высших порядков, понижение порядка
- Определение решения
- Задача Коши
- Случай уравнения разрешенного относительно старшей производной
- Понижение порядка уравнения
- Основная идея
- Определение инвариантности уравнения
- Теорема о представлении инвариантного уравнения
- Некоторые типы уравнений, допускающие понижение порядка
- Примеры
-
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
В лекции рассказывается о линейных дифферециальных уравнения с постоянными коэффициентами, квазимногочленах и их свойствах, даются определение характеристического многочлена и постановка задачи Коши.
Оглавление
- Введение
- Линейные дифферециальные уравнения с постоянными коэффициентами
- Предварительные сведения о комплексных функциях вещественного переменного
- Определение экспоненты и ее свойства
- Квазимногочлен
- Лемма о степени квазимногочлена
- Лемма о единственности представления квазимногочлена
- Символика для операции дифференцирования и ее свойства
- Общий метод решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- Определение решения
- Определение характеристического многочлена и характеристического уравнения
- Описание метода решения
- Следствие о разрешимости в квадратурах
- Задача Коши
- Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши
-
Однородные и неоднородные линейные дифференциальные уравнения
Лекция посвящена решениям однородных и неоднородных уравнения, в правой части которых квазимногочлен. Рассказывается о вещественной форме записи вещественного решения уравнения с вещественными коэффициентами.
Оглавление
- Введение
- Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- Теорема о виде решения линейные дифференциальные уравнения
- Доказательство теоремы
- Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- Предсталение решения неоднородного решения в виде суммы частного решения и общего однородного
- Представление решения в виде суммы частных решений
- Теорема о виде частного решения для неоднородного уравнения с правой частью в виде квазимногочлена
- Метод неопределенных коэффициентов
- Действительная форма решений
- Уравнение Эйлера
-
Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
Первая краевая задача для линейного уравнения второго порядка. Простейшие задачи с сингулярно входящим малым параметром.
Оглавление
- Введение
- Краевая задача для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- Формулировка первой краевой задачи
- Упражнения
- Простейшие задачи с сингулярно входящим малым параметром
- Теорема о виде решения задачи с малым параметром
- Иллюстрация решения
- Доказательство теоремы
- Замечания о сингулярности и малом параметре
- О явлении пограничного слоя
- Пример для правого конца
- Уравнение 2-го порядка с малым параметром
- Теорема о виде решения для уравнения n-го порядка с параметром
- Иллюстрация решения
- Доказательство теоремы
- Поведение решения
-
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Общие сведения о системах уравнений. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, общий метод решения.
Оглавление
- Введение
- Матричная функция скалярного аргумента
- Определения непрерывности, дифференцируемости и интеграла матричной функции
- Теорема о производной суммы матричных функций
- Теорема о производной произведения матричных функций
- Формула Ньютона-Лейбница для матричных функций
- Общий вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Линеаризация уравнения n-го порядка
- Общий вид системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка
- Нормальная форма системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Определение решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений
- Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффицентам
- Задача Коши для системы линейных дифференциальных уравнений
- Идея решения
- Теорема о приведении оператора к треугольному виду
- Общий метод решения системы линейных дифференциальных уравнений
- Следствие о разрешимости в квадратурах
- Теорема для решения задачи Коши
- Однородное уравнение для системы
- Теорема о виде решения
-
Поиск решения методом неопределенных коэффициентов
Однородные системы. Неоднородные системы, в правой части которых квазимногочлен. Вещественная форма записи вещественного решения системы с вещественными коэффициентами.
Оглавление
- Введение
- Постановка задачи
- Представление общего решения в виде суммы частного решения и общего решения однородного уравнения
- Представление решения в виде суммы решений
- Частный случай для квазимногочлена
- Теорема о виде решения для квазимногочлена
- Доказательство теоремы
- Поиск решения методом неопределенных коэффициентов
- Поиск вещественного решения
- Матричные формулы решения систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами
- Экспонента от матрицы
- Определение экспоненты от матрицы
- Свойства экспоненты от матрицы
- Теорема о виде решения в матричной форме
- Эффективное вычисление экспоненты
- Частный случай для диагональной матрицы
-
Матричные формулы
Экспонента от матрицы и ее вычисление. Матричная формула решения нормальной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Оглавление
- Введение
- Жорданова форма матрицы линейного преобразования
- Определение цепочки векторов для собственного значения
- Теорема Жордана о базисе из цепочек соответствующих собственным значениям линейного преобразования
- Жорданова форма матрицы линейного преобразования
- Задача для одного собственного вектора
- Экспонента для жордановой формы матрицы
- Уточнение некоторых результатов
- Теоремы о виде решения однородного уравнения
- Преобразования Лапласа. Элементы операционного исчисления
- Определение оригинала
- Теорема об интегрировании оригинала
- Определение изображения по Лапласу оригинала
-
Преобразование Лапласа
Свойства преобразования Лапласа, теоремы о представлении оригинала в виде интеграла от изображения, об однозначном восстановлении оригинала и об отображении множеств квазимногочленов и правильных рациональных дробей.
Оглавление
- Введение
- Определения оригинала и изображения
- Некоторые свойства преобразования Лапласа
- Вид изображения для функции имеющую n-ю производную, являющуюся оригиналом
- Теорема о представлении оригинала в виде интеграла от изображения
- Теорема об однозначном восстановлении оригинала
- Преобразование Лапласа от квазимногочлена
- Теорема об отображении множеств квазимногочленов и правильных рациональных дробей
-
Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений
Применение преобразования Лапласа к решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Операционный метод решения для систем.
Оглавление
- Введение
- Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений
- Новый способ решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- Замечания об операционном методе
- Применение преобразования лапласа к решению систем диффернциальных уравнений
- Операционный метод решения для систем
- Элементы вариационного исчисления
- Постановка вопроса
- Пример задачи для движения точки
- Математческая постановка задачи
-
Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера
В лекции рассматривается простейшая задача вариационного исчисления, даются основные результаты. Рассматривается уравнение Эйлера и его применение для определения экстремального функционала.
Оглавление
- Введение
- Простейшая задача вариационного исчисления
- Определение допустимой функции
- Постановка задачи
- Основные результаты
- Определение вариации
- Введение первой вариации
- Определение допустимой вариации
- Теорема о минимуме функционала
- Теорема Эйлера
- Определение экстремального функционала
- Обсуждение результатов
-
Теорема о достаточных условиях для минимума и задача о брахистохроне
Некоторые свойства простейшей задачи вариационного исчисления. Примеры - задачи о брахистохроне и о поверхности вращения, имеющей минимальную площадь.
-
Функционалы, зависящие от нескольких функций
Функционалы, зависящие от нескольких функций. Функционалы, зависящие от от старших производных. Задача со свободным концом.
Оглавление
- Введение
- Некоторые обобщения простейшей задачи вариационного исчисления
- Функционалы, зависящие от нескольких функций
- Постановка задачи
- Теорема о системе Эйлера
- Функционалы зависящие от старших производных
- Определение допустимой функции
- Постановка задачи
- Необходимое условие решения (уравнение Эйлера)
- Определение экстремали
- Задача со свободным концом
- Теорема о естественном краевом условии
- Задача о брахистохроне со свободным концом
- Заключение
- Задача для самостоятельного решения
-
Изопараметрическая задача и задача Лагранжа
В лекции рассматриваются изопериметрическая задача и задача Лагранжа.
-
Исследование задачи Коши
Вспомогательные сведения. Приближенные решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений. Теорема о сравнении двух приближенных решений задачи Коши.
-
Теоремы существования и единственности задачи Коши и о продолжении решения
Теорема существования и единственности решения задачи Коши для нормальных систем дифференциальных уравнений. Теорема о продолжении решения.
-
Теорема об уравнении в вариациях и дифференцируемости решения по параметру задачи Коши
Зависимость решения задачи Коши от параметров, входящих в уравнение, и от начальных данных (непрерывность, дифференцируемость, уравнение в вариациях).
Оглавление
- Введение
- Зависимость решения от параметров и начальных данных
- Теорема о существовании и единственности решения
- Теорема об уравнении в вариациях и дифференцируемости решения по параметру
- Некоторые дополнения
- О гладкости решений
- Зависимость решения от начальных данных
- О количестве начальных данных
- О решении уравнения порядка n
-
Уравнения неразрешенные относительно старшей производной
Уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, постановка задачи Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения.
Оглавление
- Введение
- Уравнения неразрешенные относительно старшей производной. Особые решения
- Формулировка задачи Коши
- Теорема о решении задачи Коши
- Определение особого решения
- Теорема о нулевом решении
- Определение p-дискримантного множества
- Примеры
- Уравнение Клеро
- Задача для самостоятльного решения
- Автономные системы дифференциальных уравнений
- Простейшие свойства
- Определение фазового пространства
-
Автономные системы дифференциальных уравнений
Основные свойства автономных систем. Положение равновесия. Классификация положений равновесия линейной автономной системы второго порядка.
Оглавление
- Введение
- Автономные системы дифференциальных уравнений
- Положение равновесия
- Теорема о положении равновесия - необходимое и достаточное условия
- Классификация положений равновессия линейной автономной системы второго порядка
- Невырожденные положения равновесия
- Устойчивый узел
- Неустойчивый узел
- Устойчивый и неустойчивый фокусы
- Вырожденные положения равновесия
- Центр
- Заключительные замечания
- О нелинейных автономных системах
- Общие соображения. Линеаризация уравнения
- Замечания о качественном поведении решений
- Замечания для вырожденного положения
- Случай уравнений 2-го порядка
-
Устойчивость по Ляпунову и первые интегралы
Положение равновесия нелинейной автономной системы, устойчивость и асимптотическая устойчивость, теорема Ляпунова.
Оглавление
- Введение
- Постановка задачи о поведении решения в окрестности положения равновесия
- Устойчивость по Ляпунову
- Определение ассимптотически устойчивого решения
- Теорема о достаточных услвиях для линейной системы
- Общий случай
- Теорема о достаточных условиях для общего случая
- Дополнения к теореме
- Первые интегралы
- Теорема о виде дифференциала
-
Первые интегралы
Связь теории первых интегралов с теорией линейных однородных уравнений с частными производными первого порядка. Независимые первые интегралы. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
Оглавление
- Введение
- Повторение лекции 6
- Определение первого интеграла
- Замечания о законе сохранения энергии
- Свойства первых интегралов
- Определение независимых первых интегралов
- Теорема о существовании n-1 независимых интегралов
- Теорема о необходимом и достаточном условии для первого интеграла в области
- Теорема о представлении первого интеграла в виде функции от независимых интегралов
-
Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка
Связь теории первых интегралов с теорией линейных однородных уравнений с частными производными первого порядка. Независимые первые интегралы. Теорема о максимальном числе независимых первых интегралов.
Оглавление
- Введение
- Линейные однородные уравнения с частными производными первого порядка
- Определение решения
- Определение характеристик уравнения
- Теорема о решении как о первом интеграле
- Теорема об общей формуле решения
- Задача Коши
- Теорема существования и единственности
- Пример
- Системы с переменными коэффициентами
- Уточнение исследования задачи Коши
-
Фундаментальные системы решений
Уточнение теоремы существования и единственности решения задачи Коши. Однородные нормальные системы. Фундаментальные системы решений. Теорема Лиувилля-Остроградского.
Оглавление
- Введение
- Постановка задачи Коши
- Простейшие свойства
- Определение линейно-зависимых решений
- Теорема о линейной независимости векторов в точке
- Определение фундаментальной системы решений
- Теорема о существовании фундаментальной системы решений
- Теорема о представлении решения в виде линейной комбинации элементов фундаментальной системы решений
- Описание решений с точки зрения теории линейных пространств
- Определение фундаментальной матрицы решений
- Свойства фундаментальной матрицы решений
- Определитель Вронского
- Теорема Лиувилля-Остроградского
- Теорема о фундаментальной системе решений
- Теорема о фундаментальной матрице решений
-
Неоднородные нормальные системы. Метод вариации постоянных
Неоднородные нормальные системы. Метод вариации постоянных. Следствия для одного уравнения (однородного и неоднородного) n-го порядка.
Оглавление
- Введение
- Неоднородные системы линейных уравнений. Постановка задачи
- Простейшие свойства решений
- Общая формула решения
- Метод Лагранжа вариации постоянных
- Теорема о решении в квадратурах
- Пример решения задачи Коши
- Одно линейное уравнения n-го порядка
- Уточнение исследования задачи Коши
- Однородное уравнение
- Простейшие свойства
- Определение линейно-зависимых решений
- Теорема о линейно-зависимых решениях
- Определение фундаментальной системы решений
- Теорема о существовании фундаментальной системы решений
- Теорема о представлении произвольного решения
- Определение вронскиана системы решений
- Формула Лиувилля-Остроградского
- Неоднородное уравнение
- Теорема о необходимом и достаточном условиях
- Метод Лагранжа вариации постоянных
-
Теорема Штурма
Осцилляционные свойства решений однородного уравнения второго порядка, теорема Штурма и ее следствия.
-
Доказательство теоремы Жордана
Доказательство теоремы о возможности приведения матрицы линейного преобразования к жордановой форме; теорема была использована в конструкциях, рассмотренных в лекции 9.
Оглавление
- Введение
- О теореме Жордана
- Определение цепочки векторов
- Теорема Жордана
- Вспомогательные результаты
- Определение линейно зависимых векторов относительно подпространства
- Определение базиса относительно пподпространства
- Леммы о базисах
- Лемма о многочленах
- Определение аннулируещего многочлена
- Лемма о существовании аннулирующего линейное преобразование многочлена
- Построение базиса из цепочек
- Определение корневого вектора
- Определение корневого пространства
- Лемма о представлении пространства в виде прямой суммы корневых пространств
- Вспомогательная лемма
- Построение базиса из цепочек
-
