НОУ ИНТУИТ | Компьютерное моделирование. Лекция 6: Обработка результатов имитационного эксперимента

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 16.11.2010 | Доступ: свободный | Студентов: 5153 / 2847 | Оценка: 4.43 / 4.14 | Длительность: 27:21:00

Темы: Программирование, Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист, Системный архитектор

Теги: анализ, имитационные модели, модели, GPSS World, синтез

|

Вам нравится? Нравится 50 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

5.7. Однофакторный дисперсионный анализ

В современной жизни - военной и гражданской часто возникают проблемы, решение которых требует научного обоснования.

Однотипны ли патроны для конкретного образца стрелкового вооружения, выпускаемые на разных заводах?

Однородны ли, например, автоматы, выпускаемые на разных заводах?

Здесь в качестве исследуемого фактора выступают заводы. Разные, но однотипные по назначению - варианты фактора, которые можно трактовать как уровни факторов.

Аналогичная задача возникает при сравнении однотипных изделий, вырабатываемых с применением различных технологий. Здесь подлежит анализу фактор - технология производства.

Эти и подобные задачи являются задачами однофакторного дисперсионного анализа (ОДА).

Иногда возможны задачи одновременного исследования влияния двух и более факторов. Например, чем объяснить рассеивание попаданий в цель: конструкторскими особенностями стрелкового вооружения, выпущенного на разных заводах, или различиями в подготовке стрелков?

Исследованием влияния факторов и занимается факторный дисперсионный анализ.

Мы рассмотрим ОДА, наиболее актуальный анализ на практике. Теория рассматривает и многофакторный дисперсионный анализ. В нем процедуры подобны тем, которые мы рассмотрим в ОДА. Усложняются только расчеты и при необходимости, зная ОДА, овладеть методикой многофакторного дисперсионного анализа, не составит труда.

Эксперимент для выполнения ОДА состоит в накоплении результатов измерений контролируемого параметра (угла, расстояния, наработки на отказ некоторого изделия и т. д.) при каждом варианте исследуемого фактора.

Введем обозначения:

- число вариантов фактора;

- число измерений при каждом варианте;

$a_{ij}$ - результат каждого измерения;

$i =\overline{1, m}$ - номер варианта фактора;

$j =\overline{1, n}$ - номер измерения.

Схема эксперимента заключается в следующем.

Производится измерений контролируемого параметра при вариантах фактора.

В принципе, число измерений может быть разным для каждого варианта фактора. Ход дальнейших рассуждений от этого не меняется.

Результаты эксперимента сводятся в таблицу (табл. 5.7).

Вопрос: влияют ли варианты фактора на точность измерений? Или, говоря языком математической статистики, являются результаты $m \cdot п$ измерений выборкой одной генеральной совокупности, или нет? Если да, то варианты фактора несущественны, если нет, то существенны.

Будем исходить из следующей нулевой гипотезы:

наблюдения каждого варианта независимы;
наблюдения каждого варианта имеют нормальное распределение;
имеют одинаковую дисперсию $\sigma^2$ ;
имеют одинаковые центры рассеивания.

Таблица 5.7. Результаты эксперимента
№ варианта	Номер измерения						Средние значения
№ варианта			$\ldots$		$\ldots$		Средние значения
	$a_{11}$	$a_{12}$	$\ldots$	$a_{1j}$	$\ldots$	$a_{1n}$	$\overline{a}_1 =\cfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^N{a_{1j}}$
	$a_{21}$	$a_{22}$	$\ldots$	$a_{2j}$	$\ldots$	$a_{2n}$	$\overline{a}_2 =\cfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^N{a_{2j}}$
$\ldots$
	$a_{i1}$	$a_{i2}$	$\ldots$	$a_{ij}$	$\ldots$	$a_{in}$	$\overline{a}_i =\cfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^N{a_{ij}}$
$\ldots$
	$a_{m1}$	$a_{m2}$	$\ldots$	$a_{mj}$	$\ldots$	$a_{mn}$	$\overline{a}_m =\cfrac{1}{n}\sum\limits_{j=1}^N{a_{mj}}$

Очевидно, если систематические ошибки вариантов не одинаковы, следует ожидать повышенного рассеивания выборочных средних $\overline{a}_{i}$ .

Для подтверждения или отрицания выдвинутой нулевой гипотезы об идентичности вариантов фактора проведем дисперсионный анализ.

Общее среднее арифметическое по всем $m\cdot n$ измерениям:

$\overline{a}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}{a_{ij}}}{m\cdot n}.$

Сумма квадратов отклонений по всем $m\cdot n$ измерений, то есть по данным всего эксперимента:

$Q=\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}{(a_{ij}-\overline{a})^2}.$

Эту сумму квадратов отклонений можно разложить на два независимых слагаемых:

$Q=n\sum\limits_{i=1}^{m}{(\overline{a}_{i}-\overline{a})^2} + \sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}{(a_{ij}-\overline{a})^2}.$

Обозначим:

$Q_1=n\sum\limits_{i=1}^{m}{(\overline{a}_{i}-\overline{a})^2},\,\,\, Q_2=\sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}{(a_{ij}-\overline{a})^2}$

Что такое $Q_{1}$ и $Q_{2}?$

$Q_{1}$ - сумма квадратов отклонений между вариантами фактора, так как $\overline{a}_{i}$ - среднее значение измеренного параметра -го варианта фактора;

$Q_{2}$ - характеризует отклонения внутри каждого варианта.

Если принятая гипотеза о равенстве центров рассеивания $a_{i}$ и дисперсий $\sigma ^{2}$ верна, тогда все $m\cdot n$ наблюдений значений $a_{ij}$ можно рассматривать как выборку из одной и той же нормальной совокупности с очевидной несмещенной оценкой дисперсии:

$S^2=\cfrac{Q}{m\cdot n-1}$

Можно показать, что величина

$\cfrac{1}{m-1}Q_1,$

имеющая распределение $\chi^{2}$ со степенями свободы m-1 , является оценкой дисперсии $S^{2}.$

И величина

$\cfrac{1}{m(n-1)}Q_2$

имеющая распределение $\chi ^{2}$ со степенями свободы m (n -1) , также является оценкой дисперсии .

Из сказанного следует, что критерий

$F=\cfrac{\cfrac{1}{m-1}Q_1}{\cfrac{1}{m(n-1)}Q_2}$

при нашей гипотезе и независимости $Q_{1}$ и $Q_{2}$ (это можно доказать) имеет F -распределение с m - 1 и m (n -1) степенями свободы.

А дальше мы уже знаем, как поступить:

выбираем уровень значимости ;
вычисляем число ;
из таблицы по величине $\cfrac{q}{2}$ находим $F_{2}$ .

Если окажется

$F > F_{2},$

то есть мы попали в область маловероятных значений , то выдвинутая гипотеза не подтверждается.А это значит, что варианты фактора не однотипны. Но если

$F\le F_2$

то гипотеза об однородности вариантов фактора подтверждается, конечно, в рамках допустимого риска.

Пример 5.5. Необходимо проверить однотипность патронов к автомату Калашникова, изготовленных на трех заводах.

Для получения необходимых для дисперсионного анализа данных автомат закрепили в специальном станке и сделали из него по 50 выстрелов патронами каждого завода. По результатам стрельбы измерялись радиальные отклонения пробоин от точки прицеливания.

Результаты измерений приведены в табл. 5.8.

Таблица 5.8. Результаты стрельбы
Заводы	Эксперименты и отклонения, см
Заводы	1	2	3	…	26	27	…	49	50
№ 1	3	2	1	…	4	3	…	1	3
№ 2	2	0	4	…	3	2	…	2	3
№ 3	2	3	3	…	1	0	…	1	5

Решение

Проверяем исходную гипотезу: патроны, выпускаемые на трех разных заводах, баллистически однотипны.

При выборе уровня значимости исходим из того, что более опасна ошибка второго рода - подтвердить ошибочный выбор. Примем q =10% .

Число вариантов фактора: m=3.

Число измерений: n = 50 .

При вычислениях опустим очевидные элементарные арифметические детали.

Средние отклонения пробоин при стрельбе патронами заводов № 1, № 2, № 3 равны соответственно:

$\overline{a_1}=\cfrac{3+2+1+\ldots+4+3+\ldots+1+3}{50}=2.5 см,\\ \overline{a_2}=\cfrac{2+0+4+\ldots+3+2+\ldots+2+3}{50}=2.8 см,\\ \overline{a_3}=\cfrac{2+3+3+\ldots+1+0+\ldots+1+5}{50}=3.1 см.$

Среднее отклонение по 150 выстрелам:

$\overline{a}=\cfrac{2.5+2.8+3.1}{3}=2.8 см$

Средний квадрат расхождений между вариантами факторов:

$\cfrac{1}{m-1}Q_1=\cfrac{1}{m-1}n\sum\limits_{i=1}^{n}{(\overline{a_i}-\overline{a})^2}=\\ =\cfrac{50}{2}[(2.5-2.8)^2+(2.8-2.8)^2+(3.1-2.8)^2]=4,5 см^2$

Число степеней свободы: m -1= 3-1= 2 .

Средний квадрат расхождений внутри вариантов:

$\cfrac{1}{m(n-1)}Q_2=\cfrac{1}{m(n-1)} \sum\limits_{i=1}^{m}\sum\limits_{j=1}^{n}{(a_{ij}-\overline{a_i})^2} = \cfrac{1}{3.49}[(3-2.5)^2 + \\ + (1-2.5)^2 + \ldots + (4-2.5)^2+ (3-2.5)^2 + \ldots + (1-2.5)^2 + (3-2.5)^2 + \\ + (2-2.8)^2 + \ldots + (5-3.1)^2 ] = 2.2 см^2$

Число степеней свободы:

$m(n-1)=3\cdot 49=147$

Расчет F -критерия:

$F = \cfrac{1.5}{2.2}\approx 2.1$

По табл. П.2 при $\cfrac{q}{2} = 5%$ верхних пределов уклонения величины и имеющихся степенях свободы 2 и 147 находим $F_{2} = 3.06$ . Величина $F_{2}$ определена при $R_{2} =150$ , так как табличные значения при $k_{2} = 147$ не определены. Нетрудно убедиться, что такое приближение вполне допустимо.

Поскольку 2.1 < 3.06 , делаем вывод о том, что выдвинутая гипотеза об однотипности партий патронов, выпускаемых тремя разными заводами, не опровергается (в пределах принятого уровня значимости).

Дальше >>

Авторизоваться

Компьютерное моделирование

Обработка результатов имитационного эксперимента

5.7. Однофакторный дисперсионный анализ

Вопросы и ответы