Опубликован: 02.03.2017 | Доступ: свободный | Студентов: 2408 / 515 | Длительность: 21:50:00
Лекция 3:

Алгебраические системы

< Лекция 2 || Лекция 3: 12345 || Лекция 4 >

3.1.3 Коммутативные и ассоциативные операции

Определение 3.5 Бинарная операция \ast на множестве G называется ассоциативной, если a\ast(b\ast c)=(a\ast b)\ast c для всех a, b, c\in G.

Определение 3.6 Бинарная операция \ast на множестве G называется коммутативной, если a\ast b = b\ast a для всех a, b\in G.

Свойства ассоциативности и коммутативности независимы. Действительно, например операция на m\ast n = -m-n на \mathbb{Z} является коммутативной, но не ассоциативной, а операция умножения квадратных n \times n-матриц - ассоциативна, но не коммутативна.

Пример 3.2

  1. Операции сложения и умножения на множестве \mathbb{R} действительных чисел коммутативны и ассоциативны.
  2. Операция \ast на множестве натуральных чисел, задаваемая формулой m\ast n = m^n - некоммутативна (например, 3^2 = 9 \neq 8 =2^3). Эта операция и неассоциативна (упражнение: приведите пример трех чисел m,n,k таких, что m\ast(n\ast k)\neq (m\ast n)\ast k.
  3. Операция на множестве \mathbb{R}, заданная формулой a\ast b = (a+b)/2 - коммутативна, но не ассоциативна.

3.1.4 Группы и полугруппы

Определение 3.7 Множество G с определённой на нём ассоциативной бинарной операцией \times называется полугруппой. Полугруппа, в которой есть нейтральный элемент, называется моноидом.

Примеры полугрупп.

  1. (\mathbb{N}, +) - полугруппа без нейтрального элемента.

    (\mathbb{N}, \cdot) - моноид.

  2. (\mathbb{Z}, +) - моноид.

  3. (\mathbb{N}, {\Delta}), где a{\Delta}b=НОД(a, b),

    (\mathbb{N}, {\nabla}), где a{\nabla}b=НОК(a, b).

  4. (\mathbb{R}, {\wedge}), где a{\wedge}b=\min\{a, b\},

    (\mathbb{R}, {\vee}), где a{\vee}b=\max\{a, b\}.

Пусть G - произвольное (непустое) множество. Зададимся вопросом: можно ли превратить G в полугруппу? Другими словами, можно ли задать на G какую-нибудь ассоциативную операцию? Ответ утвердительный. Более того, если G неодноэлементно, то это можно сделать многими способами, а при бесконечном G - бесконечным числом способов. Укажем несколько таких способов.

  1. Положим x + y = x для любых x, y  \in G. Очевидно, введенная операция + ассоциативна. Полугруппу с такой операцией называют полугруппой левых нулей.
  2. Положим x + y = y для любых x, y  \in G. Этот пример полугруппы правых нулей аналогичен предыдущему.
  3. Зафиксируем элемент a  \in  G и положим x + y = a для любых x, y  \in G. И эта операция +, очевидно, ассоциативна.
Свободные полугруппы

Пусть A - произвольное (непустое) множество. Будем называть A алфавитом, а элементы A - буквами. Через F(A) обозначим множество всех конечных последовательностей букв из A. Зададим на F(A) операцию умножения, полагая (a_1,\dots,a_m)\times (b_1, \dots, b_n)=(a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_n). Легко видеть, что эта операция (называемая иногда конкатенацией, то есть сцеплением) ассоциативна (упражнение: проверить), так что F(A) становится полугруппой, которая называется свободной полугруппой над алфавитом A. Другое употребительное обозначение для нее : A^+. Отождествляя последовательность из одной буквы с самой этой буквой и опуская в записи знак для конкатенации, элементы свободной полугруппы записывают в виде a_1a_2\dots a_m и называют словами. По определению, слова a_1a_2\dots a_m и c_1c_2\dots c_k равны, если m = k и a_i=c_i при i = 1,{\ldots}, m.

Свободные полугруппы играют важную роль как в общей теории полугрупп, так и в приложениях. Их прикладная роль объясняется, в частности, тем, что во многих процессах передачи информации передаваемые сообщения представляют собой цепочки символов ("реальных" букв или слов, других кодовых знаков, электрических сигналов и т.д.) и соединение двух таких цепочек есть не что иное, как конкатенация слов в подходящей свободной полугруппе. Свободные полугруппы (главным образом, над конечными алфавитами) являются исходным объектом в теории формальных языков и теории кодов, существенна их роль в теории автоматов. При этом обычно к элементам полугруппы F(A) добавляют так называемое пустое слово, не содержащее букв и играющее роль единицы при умножении, получается полугруппа с единицей, обозначаемая  A^\ast и называемая свободным моноидом над алфавитом A.

Формальным языком называется произвольное подмножество некоторого свободного моноида.

Определение 3.8 Полугруппа с единицей, в которой для каждого элемента существует обратный, называется группой.

Определение 3.9 Если операция в группе G обладает коммутативностью, т.е.

a\times b=b\times a{\forall}a,b \in G,

то группа G называется коммутативной.

Определение 3.10 Мощность множества G, на котором задана групповая операция, называется порядком группы G.

Если множество конечно, то группа G называется конечной.

Определение 3.11 Подмножество множества G, являющееся одновременно группой относительно той же самой операции, называется подгруппой группы G.

Определение 3.11 Подгруппа H группы G называется тривиальной, если либо H=G, либо H состоит из одного нейтрального элемента.

Справедлива

Теорема 3.1 (Теорема Лагранжа) Порядок n конечной группы G делится на порядок m любой её подгруппы H.

Определение 3.12 Число |G|/|H| называется индексом подгруппы H в группе G и обозначается |G:H|.

Определение 3.13 Полугруппы G и H называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение \varphi :G\rightarrow H, сохраняющее операцию, то есть такое, что \varphi \left(a\times b\right)=\varphi \left(a\right)\times \varphi \left(b\right).

Определение 3.14 Подгруппа группы G называется максимальной, если она не содержится в других собственных (не совпадающих с G) подгруппах группы G.

Определение 3.15 Минимальная подгруппа группы G, содержащая элементы {a}_{1},{a}_{2},{\dots},{a}_{k}, называется подгруппой, порождённой этими элементами, и обозначается {\langle}{a}_{1},{\dots},{a}_{k}{\rangle}.

Определение 3.16 Группа {\langle}a{\rangle}, порождённая одним элементом, называется циклической, и состоит из элементов e={a}^{0},{a},{a}^{2},{a}^{3},{\dots}.

Существуют две возможности: либо все степени элемента a различны, тогда список элементов группы {\langle}a{\rangle} будет продолжаться бесконечно, либо на каком-то шаге окажется: {a}^{n}={a}^{0}.

Определение 3.17 Минимальное натуральне число n такое, что a^n = 1, называется порядком элемента a (пишут |a| = n). Если такого n не существует, пишут |a|=\infty.

Одновременно такое n является порядком подгруппы {\langle}a{\rangle}.

Справедливо

Следствие 3.1 (из теоремы Лагранжа) Порядок конечной группы G делится на порядок любого её элемента.

Отметим несколько свойств циклической группы, которые пригодятся нам в дальнейшем:

  1. Каждая подгруппа циклической группы циклическая.
  2. Если порядок элемента a равен n, то порядок элемента {a}^{m} равен {n'}=n/НОД(m,n).
  3. Если b \in {\langle}a{\rangle} имеет порядок {n'}, то b лежит в подгруппе {\langle}{a}^{n/{n'}}{\rangle}.
  4. Если k делит m, то \left\langle {a}^{k}\right\rangle  \subseteq  {\langle}{a}^{m}{\rangle}.
  5. Максимальными в циклической группе {\langle}a{\rangle} порядка n являются подгруппы {\langle}{a}^{p}{\rangle} для простых чисел p, делящих n, и только они.
  6. Если в группе {\langle}a{\rangle} найдётся элемент b порядка n, то группа {\langle}a{\rangle} порождается и элементом b, то есть \left\langle a\right\rangle =\left\langle b\right\rangle.
  7. Число элементов, порождающих \left\langle a\right\rangle, равно \varphi (\left|a\right|).
  8. Циклические группы одного порядка изоморфны.

Пример 3.3 Множество \mathbb{Z}_{11}^{*} чисел от 1 до 10 c умножением по модулю 11 образует группу. Отметим, что в этой группе нейтральным элементом является 1, элемент 10 имеет порядок 2, поскольку 10 \cdot 10=100 \equiv 1\mod11, элементы 4, 5, 9, 3 имеют порядок 5, а остальные элементы имеют порядок, не делящий ни 2, ни 5, но делящий 10. То есть элементы 2, 6, 7, 8 имеют порядок 10, то есть \mathbb{Z}_{11}^{*}=\left\langle 2\right\rangle =\left\langle 6\right\rangle =\left\langle 7\right\rangle ={\langle}8{\rangle}.

Пример 3.4 Пусть элемент a группы G имеет порядок 60. Найти число {N}_{20} элементов порядка 20 в группе {\langle}a{\rangle}? Сколько элементов являются порождающими в {\langle}a{\rangle}?

Решение. По свойству 2, элементы порядка 20 лежат в подгруппе \left\langle {a}^{3}\right\rangle и, по свойствам 3,5, не лежат в её максимальных подгруппах: {\langle}{a}^{6}{\rangle} и {\langle}{a}^{15}{\rangle}. Отсюда,

{N}_{20}=\left|\left\langle {a}^{3}\right\rangle \right|-\left|\left\langle {a}^{6}\right\rangle {\cup}\left\langle {a}^{15}\right\rangle \right|.

Порядок элементов из \left\langle {a}^{6}\right\rangle {\cap}{\langle}{a}^{15}{\rangle} делит и 10 и 4, следовательно, равен 1 или 2, т.е. \left\langle {a}^{6}\right\rangle {\cap}\left\langle {a}^{15}\right\rangle =\left\langle {a}^{30}\right\rangle, \left|\left\langle {a}^{30}\right\rangle \right|=2. Отсюда,

{N}_{20}=20-10-4+2=8.

Число N_{60} порождающих элементов в {\langle}a{\rangle}, то есть элементов порядка 60, можно найти по формуле:

{N}_{60}=\varphi \left(60\right)=\varphi \left(4\right)\varphi \left(3\right)\varphi \left(5\right)=2 \cdot 2 \cdot 4=16,

где \varphi - функция Эйлера.

< Лекция 2 || Лекция 3: 12345 || Лекция 4 >
Евгений Шаров
Евгений Шаров

как начать заново проходить курс, если уже пройдено несколько лекций со сданными тестами?

Юлия Мышкина
Юлия Мышкина

Обучение с персональным тьютором осуществляется по Скайпу или посредством переписки?