Массивы

Понижение степени полинома

Если для полинома n-й степени найден корень , то можно понизить степень полинома, построив полином степени , у которого все корни совпадают с корнями полинома за исключением того, что у него нет корня .

Запишем соотношение, связывающее полиномы:

Учитывая соотношение 6.3 о равенстве двух полиномов одной степени, можно выписать соотношение, связывающее коэффициенты этих полиномов. Эти соотношения нетрудно разрешить относительно неизвестных коэффициентов . В результате получим:

( 6.4)

Заметьте, неизвестных всего , а уравнений можно построить - . Но последнее уравнение является следствием предыдущих и используется для контроля вычислений.

К новому полиному можно применить тот же процесс - найти его корень и понизить затем степень полинома. Реально понижение степени не намного упрощает задачу отыскания корней, так что чаще всего проще искать корни исходного полинома, изменяя начальные приближения в итерационном процессе или отыскивая различные интервалы, на которых полином меняет свой знак.

Нахождение коэффициентов полинома по его корням

До сих пор рассматривалась задача отыскания корней полинома с заданными коэффициентами. Иногда приходится решать обратную задачу - найти коэффициенты полинома, если известны его корни - . Полиномов с одинаковыми корнями существует бесчисленное множество. Однако среди них существует единственный полином с коэффициентом , равным единице. Этот полином называется приведенным, его-то и будем строить. Все остальные полиномы получаются из приведенного полинома умножением всех коэффициентов на произвольное число , от которого требуется лишь, чтобы оно не было равно нулю. Поэтому для однозначного решения задачи требуется задать n корней и коэффициент при старшем члене полинома. Тогда можно записать следующее равенство:

Для нахождения коэффициентов полинома воспользуемся, как обычно, соотношением 6.3. Но применить его напрямую сложно. Поэтому воспользуемся процессом, обратным к процессу понижения степени. Построим вначале - полином первой степени, у которого является единственным корнем. Затем повысим степень и построим полином второй степени - , у которого появляется еще один корень - . Продолжая этот процесс, дойдем до искомого полинома . При вычислении коэффициентов нового полинома будем использовать коэффициенты уже посчитанного полинома на единицу меньшей степени. Получающиеся в результате соотношения близки к тем, что приведены для случая понижения степени полинома.

Коэффициенты полинома первой степени выписываются явно:

Коэффициенты полинома k-й степени вычисляются через коэффициенты полинома степени k-1:

Переходя к коэффициентам, получим следующие уравнения:

( 6.5)

В соотношении 6.5 через обозначены коэффициенты полинома степени . На самом деле схема безопасна и позволяет считать коэффициенты на том же месте, не требуя дополнительной памяти. Приведу алгоритм вычисления коэффициентов полинома по его корням в виде схемы, приближенной к языку C#.

Дано:

• - коэффициент при старшем члене полинома ;
• - степень полинома;
• - массив корней полинома ;

Вычислить:

• массив - массив коэффициентов полинома .

//Вычисляем коэффициенты полинома первой степени
a[1]= 1;	a[0] = -x[0];
//цикл по числу полиномов
for(int k=2;k<=n; k++)
{
	//Вычисляем коэффициенты полинома степени k
	//Вначале старший коэффициент
	a[k]= a[k-1];
	//затем остальные коэффициенты, кроме последнего
	for(int i=k-1;i>0; i--)
	{
  a[i] = a[i-1]- a[i]*x[k-1];
	}
	//теперь младший коэффициент
	a[0]= -a[0]*x[k-1];
}
//Последний этап - умножение коэффициентов на an
for(int i=0; i<=n; i++)
	a[i] = a[i]*an;

Полином Лагранжа

Пусть на плоскости заданы точка: . Полиномом Лагранжа называется полином n-й степени, проходящий через все точки . Если точки не образуют возвратов, то такой полином существует и является единственным. Под возвратом понимается ситуация, когда существуют две точки и такие, что .

Как построить такой полином? Лагранж предложил следующий алгоритм. Полином строится как сумма полиномов n-й степени:

Каждый из полиномов , входящих в сумму, строится следующим образом. Корнями полинома являются все точки за исключением точки . Единственность обеспечивается за счет того, что коэффициент при старшем члене an подбирается так, чтобы полином проходил через точку . В записи Лагранжа полином выглядит следующим образом:

( 6.6)

В записи 6.6 в числителе находится приведенный полином, построенный по корням, а , деленное на знаменатель в формуле 6.6, задает - старший коэффициент полинома.

Условия, накладываемые на полиномы , обеспечивают выполнение требований к полиному Лагранжа - сумма полиномов будет полиномом, проходящим через все заданные точки.

Поскольку алгоритм построения приведенного полинома по его корням уже разобран, то схема построения полинома Лагранжа может выглядеть так:

//Полином Лагранжа определяется как сумма из n+1
//полиномов Pk, для которых известны корни.  
for(int k=0; k<=n; k++)
  	{    
    //Задание корней для полинома Pk  
    for(int i =0; i<k; i++)
    	roots[i] = X[i];
    for(int i =k+1; i<=n; i++)
    	roots[i-1] = X[i];
    //Вычисление коэффициентов приведенного полинома по его корням
    coefk = CalcCoefFromRoots(roots);               
         //вычисление An - старшего коэффициента полинома.
     An = Y[k] / HornerP(coefk,X[k]);
    //Добавление очередного полинома Pk к PL - сумме полиномов
    for(int i =0; i<=n; i++)
    {
    	coefL[i]= coefL[i]+An*coefk[i];
    }
  	}

В этой схеме:

• X и Y - массивы, задающие декартовы координаты точек, через которые проходит полином Лагранжа,
• n - степень полинома,
• roots - массив корней приведенного полинома ,
• coefk - массив его коэффициентов,
• An - старший коэффициент полинома, вычисляемый из условия прохождения полинома через точку с координатами X[k], Y[k],
• coefL - массив коэффициентов полинома Лагранжа,
• HornerP - метод, вычисляющий по схеме Горнера значение полинома по его коэффициентам и значению координаты x,
• CalcCoefFromRoots - метод, вычисляющий массив коэффициентов приведенного полинома по его корням.