НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 9: Нормальные формы контекстно-свободных грамматик

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2515 / 1036 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00

ISBN: 978-5-9556-0062-8

Темы: Программирование, Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Математик

Теги: beta, finite, grammar, xml, автоматы, анализ, булева формула, дерево вывода, контекстно-свободная грамматика, контекстно-свободный язык, метка перехода, моноид, нетерминальный символ, протоколы, регулярные выражения, теория, шаг индукции, элементы

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

8.4*. Нормальная форма Грейбах

Определение 8.4.1. Грамматика в нормальной форме Грейбах (grammar in Greibach normal form) - контекстно-свободная грамматика $\lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ , в которой каждое правило имеет один из следующих четырех видов: $A \tto \varepsilon$ , $A \tto a$ , $A \tto a B$ , $A \tto a B C$ , где $A \in N$ , $B \in N$ , $C \in N$ , $a \in \Sigma$ .

Пример 8.4.2. Грамматика

$\begin{align*} S \; & {\to} \; aST , \\ S \; & {\to} \; aT , \\ T \; & {\to} \; bS , \\ T \; & {\to} \; b \end{align*}$

является грамматикой в нормальной форме Грейбах.

Замечание 8.4.3. Некоторые авторы разрешают в грамматиках в нормальной форме Грейбах использовать также правила вида $A \tto a \beta$ , где $A \in N$ , $a \in \Sigma$ , $\beta \in N^*$ (в определении 8.4.1 разрешены, только если $| \beta | \leq 2$ ).

Теорема 8.4.4. Каждая контекстно-свободная грамматика эквивалентна некоторой грамматике в нормальной форме Грейбах.

Доказательство. Докажем теорему для контекстно-свободных языков, не содержащих пустого слова. Согласно теореме 8.3.5 исходный язык порождается некоторой грамматикой $G = \lalg N , \Sigma , P , S \ralg$ , в которой каждое правило имеет вид $A \tto a$ или $A \tto B C$ , где $A \in N$ , $B \in N \sminus \{ S \}$ , $C \in N \sminus \{ S \}$ , $a \in \Sigma$ .

Введем |N|² новых вспомогательных символов, соответствующих упорядоченным парам из множества $N \times N$ . Новый символ, соответствующий паре $\lp A , B \rp$ , будем обозначать (A\B). Построим грамматику "почти в нормальной форме Грейбах" $\gdd{ G } = \lalg \gdd{ N } , \Sigma , \gdd{ P } , S \ralg$ , положив $\gdd{ N } = N \cup \{ ( A \li B ) \mid A \in N \commaand B \in N \}$ и

$\begin{align*} \gdd{ P } &= \{ ( A \li A ) \tto \varepsilon \mid A \in N \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ ( C \li E ) \squeeze{\tto} A ( A \li D ) ( B \li E ) \squeeze{\mid} ( B \squeeze{\tto} C D ) \squeeze{\in} P ,\ A \squeeze{\in} N \commaand E \squeeze{\in} N \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ A \tto a \mid ( A \tto a ) \in P \} \cup {} \\ &\myqquad \cup \{ S \tto a ( A \li S ) \mid ( A \tto a ) \in P \} . \end{align*}$

Если в этой грамматике заменить

$\begin{multiline*} \{ ( C \li E ) \tto A ( A \li D ) ( B \li E ) \mid ( B \tto C D ) \in P ,\ A \in N \commaand E \in N \} \cup {} \\ \cup \{ A \tto a \mid ( A \tto a ) \in P \} \end{multiline*}$

на

$\{ ( C \li E ) \tto a ( A \li D ) ( B \li E ) \mid ( B \squeeze{\tto} C D ) \in P ,\ ( A \squeeze{\tto} a ) \in P \commaand E \in N \} ,$

получим эквивалентную ей грамматику в нормальной форме Грейбах. Осталось лишь доказать, что $L ( G ) = L ( \gdd{ G } )$ .

Сначала проверим индукцией по длине слова $\gamma \in N ^*$ , что если $F \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} C \gamma$ , то $( C \li E ) \overstar{\myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow }} \gamma ( F \li E )$ для любого $E \in N$ . Чтобы провести шаг индукции, допустим, что $( B \tto C D ) \in P$ и

$F \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} B \beta \myunderset{ G }{ \Rightarrow } C D \beta \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} C A \alpha \beta ,$

где $D \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} A \alpha$ и $\gamma = A \alpha \beta$ . По предположению индукции имеем $( B \li E ) \overstar{\myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow }} \beta ( F \li E )$ и $( A \li D ) \overstar{\myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow }} \alpha ( D \li D )$ . Подключая эти выводы к правилу $( C \li E ) \myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow } A ( A \li D ) ( B \li E )$ и используя $( D \li D ) \myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow } \varepsilon$ , получаем искомый вывод $( C \li E ) \overstar{\myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow }} A \alpha \beta ( F \li E )$ .

Докажем теперь, что для любого $\gamma \in N ^*$ равносильны утверждения $F \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} C \gamma$ и $( C \li F ) \overstar{\myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow }} \gamma$ . В одну сторону это следует из только что доказанного. Доказательство того, что если $( C \li F ) \overstar{\myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow }} \gamma$ , то $F \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} C \gamma$ , проведем индукцией по длине слова $\gamma \in N ^*$ . Чтобы провести шаг индукции, допустим, что $( B \tto C D ) \in P$ , $( C \li F ) \myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow } A ( A \li D ) ( B \li F )$ , $( A \li D ) \overstar{\myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow }} \alpha$ , $( B \li F ) \overstar{\myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow }} \beta$ и $\gamma = A \alpha \beta$ . По предположению индукции $D \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} A \alpha$ и $F \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} B \beta$ . Получаем искомый вывод

$F \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} B \beta \myunderset{ G }{ \Rightarrow } C D \beta \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} C A \alpha \beta .$

Теперь убедимся, что $L ( G ) = L ( \gdd{ G } )$ . Рассмотрим произвольное слово $a_0 a_1 \ldots a_m$ , где $m \geq 0$ и $a_i \in \Sigma$ для всех $i \leq m$ . Пусть

$S \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} A_0 A_1 \ldots A_m \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} a_0 a_1 \ldots a_m ,$

где $A_i \in N$ для всех $i \leq m$ . Тогда

$S \myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow } a_0 ( A_0 \li S ) \overstar{\myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow }} a_0 A_1 \ldots A_m \overstar{\myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow }} a_0 a_1 \ldots a_m .$

Обратно, пусть

$S \myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow } a_0 ( A_0 \li S ) \overstar{\myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow }} a_0 A_1 \ldots A_m \overstar{\myunderset{\gdd{ G }}{ \Rightarrow }} a_0 a_1 \ldots a_m ,$

где $A_i \in N$ для всех $i \leq m$ . Тогда

$S \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} A_0 A_1 \ldots A_m \overstar{\myunderset{ G }{ \Rightarrow }} a_0 a_1 \ldots a_m .$

Пример 8.4.5. Грамматика

$\begin{align*} S \; & {\to} \; RT , & U \; & {\to} \; VT , \\ T \; & {\to} \; b , & V \; & {\to} \; RT , \\ T \; & {\to} \; UR , & R \; & {\to} \; a \end{align*}$

эквивалентна следующей грамматике в нормальной форме Грейбах:

$\begin{align*} S \; & {\to} \; aC , & E \; & {\to} \; aDF , \\ C \; & {\to} \; aD , & E \; & {\to} \; bF , \\ C \; & {\to} \; b , & F \; & {\to} \; a . \\ D \; & {\to} \; aDE , \\ D \; & {\to} \; bE , \end{align*}$

Здесь C, D, E и F соответствуют символам (A\S), (A\T), (V\T) и (U\T) из доказательства теоремы 8.4.4 (удален 21 бесполезный символ).

Теорема 8.4.6. Пусть язык L контекстно-свободный. Тогда язык $L \sminus \{ \varepsilon \}$ порождается некоторой грамматикой в нормальной форме Грейбах без $\varepsilon$ - правил.

Пример 8.4.7. Грамматика

$\begin{align*} S \; & {\to} \; aR , \\ R \; & {\to} \; bRT , \\ R \; & {\to} \; \varepsilon , \\ T \; & {\to} \; cSR , \\ T \; & {\to} \; \varepsilon \end{align*}$

эквивалентна следующей грамматике в нормальной форме Грейбах без $\varepsilon$ -правил:

$\begin{align*} S \; & {\to} \; aR , & R \; & {\to} \; bRT , & T \; & {\to} \; cSR , \\ S \; & {\to} \; a , & R \; & {\to} \; bT , & T \; & {\to} \; cS . \\ & & R \; & {\to} \; bR , \\ & & R \; & {\to} \; b , \end{align*}$

Упражнение 8.4.8. Найти контекстно-свободную грамматику в нормальной форме Грейбах, эквивалентную грамматике

$\begin{align*} F \; & {\to} \; ab , \\ F \; & {\to} \; a F b , \\ F \; & {\to} \; F F . \end{align*}$

Упражнение 8.4.9. Найти контекстно-свободную грамматику в нормальной форме Грейбах, эквивалентную грамматике

$\begin{align*} S \; & {\to} \; AB , \\ B \; & {\to} \; AB , \\ A \; & {\to} \; BB , \\ A \; & {\to} \; a , \\ B \; & {\to} \; b . \end{align*}$

Упражнение 8.4.10. Найти контекстно-свободную грамматику в нормальной форме Грейбах, эквивалентную грамматике

$\begin{align*} K \; & {\to} \; Fb , \\ F \; & {\to} \; \varepsilon , \\ F \; & {\to} \; aFbF . \end{align*}$

Упражнение 8.4.11. Найти контекстно-свободную грамматику в нормальной форме Грейбах, эквивалентную грамматике

$\begin{align*} S \; & {\to} \; aT , \\ T \; & {\to} \; aTTa , \\ T \; & {\to} \; b . \end{align*}$

Дальше >>

Авторизоваться

Математическая теория формальных языков

Нормальные формы контекстно-свободных грамматик

8.4*. Нормальная форма Грейбах

Вопросы и ответы