Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2131 / 678 | Оценка: 4.56 / 4.26 | Длительность: 20:40:00
ISBN: 978-5-9556-0062-8
Специальности: Математик
Лекция 7:

Синтаксические моноиды

< Лекция 6 || Лекция 7: 1234 || Лекция 8 >

6.4*. Классы эквивалентности слов

Лемма 6.4.1. Пусть L \subseteq \Sigma ^* и y \in \Sigma ^*. Тогда

\begin{align*}
 \rightcontext_{\Sigma ^* \sminus L} ( y ) &=
  \Sigma ^* \sminus \rightcontext_{L} ( y ) ,\\
 \bothcontext_{\Sigma ^* \sminus L} ( y ) &=
  (\Sigma ^* \times \Sigma ^*) \sminus \bothcontext_{L} ( y ) .
\end{align*}

Определение 6.4.2. Пусть L \subseteq \Sigma ^* и x \in \Sigma ^*. Обозначим через [ x ]\supright_{L} язык \{ y \in \Sigma ^* \mid \rightcontext_{L} ( y ) = \rightcontext_{L} ( x
) \}. Обозначим через [ x ]_{L} язык \{ y \in \Sigma ^* \mid \bothcontext_{L} ( y ) = \bothcontext_{L} ( x )
\}.

Пример 6.4.3. Пусть L \subseteq \Sigma ^*. Множества вида [ x ]\supright_{L} образуют разбиение множества \Sigma ^* на классы эквивалентности. Множества вида [ x ]_{L} образуют разбиение множества \Sigma ^* на классы эквивалентности.

Пример 6.4.4. Пусть \Sigma = \{ a , b \} и L = \{ a^n b a^n \mid n \geq 0 \}. Тогда

\begin{align*}
 [baa]\supright_{L} &=
  \{ a^i b a^j \mid 0 \leq i < j \}
  \cup
  \{ y \in \Sigma ^* \mid | y |_b > 1 \} ,\\
 [baa]_{L} &= \{ a^i b a^{i+2} \mid i \geq 0 \} .
\end{align*}

Лемма 6.4.5. Если язык L \subseteq \Sigma ^* является автоматным, то для каждого слова x \in \Sigma ^* языки [ x ]\supright_{L} и [ x ]_{L} являются автоматными.

Доказательство. Пусть язык L распознается конечным автоматом M = \lalg Q , \Sigma , \Delta , I , F \ralg, не содержащим переходов с метками длины больше единицы. Будем использовать обозначение TrM из доказательства теоремы 6.3.11. При любой фиксированной паре \lp p , q \rp \in Q \times Q язык \cala _{ p , q , M } =
\{ y \in \Sigma ^* \mid \lp p , q \rp \in \mathrm{Tr}_M( y ) \} является автоматным (он распознается конечным автоматом \lalg Q , \Sigma , \Delta , \{ p \} , \{ q \} \ralg ). Для каждого слова z \in \Sigma ^* язык \calb _{ z , M } =
\{ y \in \Sigma ^* \mid \mathrm{Tr}_M( y ) = \mathrm{Tr}_M( z ) \} является автоматным, так как он представим в виде пересечения конечного семейства автоматных языков:

\calb _{ z , M } =
\biggl(\,
\raisebox{0pt}[\height][0.95\depth]{\displaystyle
 \bigcap _{ \lp p , q \rp \in \mathrm{Tr}_M( z ) }}
\cala _{ p , q , M } \biggr)
\cap
\biggl(\,
\raisebox{0pt}[\height][0.95\depth]{\displaystyle
 \bigcap _{ \lp p , q \rp \notin \mathrm{Tr}_M( z ) }}
( \Sigma ^* \sminus \cala _{ p , q , M } )\biggr) .
Каждый из языков [x]L и [ x ]\supright_{L} является объединением конечного семейства автоматных языков:
\raisebox{0pt}[\height][0pt]{\displaystyle
 [ x ]_{L} = \bigcup _{ z \in [ x ]_{L} } \calb _{ z , M }} ,
\qquad
\raisebox{0pt}[\height][0pt]{\displaystyle
 [ x ]\supright_{L} =
 \bigcup _{ z \in [ x ]\supright_{L} } \calb _{ z , M }} .

Замечание 6.4.6. Из теоремы 6.1.8 вытекает, что если язык L автоматный, то существует лишь конечное число различных множеств [ x ]\supright_{L}. Аналогичное утверждение верно для множеств [ x ]_{L} (см. теорему 6.3.11).

Пример 6.4.7. Рассмотрим язык

L = \{ (ab)^n \mid n \geq 0 \} \cup \{ (ab)^n a \mid n \geq 0 \}
над алфавитом \Sigma = \{ a , b \}. Тогда
\begin{align*}
[ \varepsilon ]\supright_{L}
&= (ab)^* ;\\
[ a ]\supright_{L}
&= (ab)^* a ;\\
[ b ]\supright_{L}
&= b (a \replus b)^* \replus
 (a \replus b)^* (aa \replus bb) (a \replus b)^* ;\\
[ \varepsilon ]_{L}
&= 1 ;\\
[ ab ]_{L}
&= (ab)^+ ;\\
[ ba ]_{L}
&= (ba)^+ ;\\
[ a ]_{L}
&= (ab)^* a ;\\
[ b ]_{L}
&= b (ab)^* ;\\
[ aa ]_{L}
&= (a \replus b)^* (aa \replus bb) (a \replus b)^* .
\end{align*}

Упражнение 6.4.8. Существуют ли такие языки L_1 \subseteq \Sigma ^* и L_2 \subseteq \Sigma ^*, что язык L1 является автоматным, но язык

L_3 = \{ x \in \Sigma ^* \mid
  x y \in L_1 \mathspace\text{для некоторого слова}\mathspace y \in L_2 \}
не является автоматным?

Упражнение 6.4.9. Существуют ли такие языки L_1 \subseteq \Sigma ^* и L_2 \subseteq \Sigma ^*, что язык L1 является автоматным, но язык

L_3 = \{ x \in \Sigma ^* \mid
  x y \in L_1 \mathspace\text{для всех слов}\mathspace y \in L_2 \}
не является автоматным?

Упражнение 6.4.10. Существует ли такой автоматный язык L \subseteq \Sigma ^*, что язык

\mathrm{Max} ( L ) \bydef \{ x \in L \mid
 x y \notin L \mathspace\text{для всех слов}\mathspace y \in \Sigma ^+ \}
не является автоматным?

Теорема 6.4.11. Язык L \subseteq \Sigma ^* является автоматным тогда и только тогда, когда существует такое отношение эквивалентности R \subseteq \Sigma ^* \times \Sigma ^*, что R разбивает \Sigma ^* на конечное множество классов эквивалентности, L является объединением некоторых из этих классов эквивалентности и для любых x \in \Sigma ^*, y \in \Sigma ^*, z \in \Sigma ^* из xRy следует xzRyz.

Замечание 6.4.12. Теоремы 6.1.8 и 6.4.11 образуют теорему Майхилла-Нерода.

< Лекция 6 || Лекция 7: 1234 || Лекция 8 >
Юлия Маковецкая
Юлия Маковецкая

Упражнение 2.1.25

Евгения Гунченко
Евгения Гунченко

Сдавала тест экстерном, результат получен 74 после принятия данного результата и соответственно оплаты курса, будет ли выдано удостоверение о повышении квалификации?