Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 30.05.2014 | Доступ: свободный | Студентов: 292 / 32 | Длительность: 11:26:00

Самостоятельная работа 4: Оптимизация расчетов на примере задачи вычисления справедливой цены опциона Европейского типа

Версия 2. Эквивалентные преобразования: cdfnorm() vs. erf()

Вычисления, которые мы до сих пор выполняли с помощью функции cdfnormf() можно проделать и другим способом, используя функцию erff(). Дело в том, что вычисление cdfnormf является более трудоемким (подумайте, почему это так, рассмотрите интегралы, которые необходимо посчитать).

Используем формулу cdfnorm(x)=0.5+0.5erf \left( \frac x {\sigma \sqrt T \right)}

Выполнив необходимые математические преобразования, получим следующий код.

__declspec(noinline) void GetOptionPricesV2(float *pT, 
  float *pK, float *pS0, float *pC)
{
  int i;
  float d1, d2, erf1, erf2;

  for (i = 0; i < N; i++)
  {
    d1 = (logf(pS0[i] / pK[i]) + (r + sig * sig * 0.5f) *
         pT[i]) / (sig * sqrtf(pT[i]));
    d2 = (logf(pS0[i] / pK[i]) + (r - sig * sig * 0.5f) * 
         pT[i]) / (sig * sqrtf(pT[i]));
    erf1 = 0.5f + 0.5f * erff(d1 / sqrtf(2.0f));
    erf2 = 0.5f + 0.5f * erff(d2 / sqrtf(2.0f));
    pC[i] = pS0[i] * erf1 - pK[i] * expf((-1.0f) * r * 
            pT[i]) * erf2;
  }
}

Добавьте в массив указателей GetOptionPrices, новую функцию.

tGetOptionPrices GetOptionPrices[9] = 
{ GetOptionPricesV0, GetOptionPricesV1, GetOptionPricesV2
};

Соберите программу и проведите эксперименты.

На описанной ранее инфраструктуре авторы получили следующие времена.

Таблица 9.4. Время работы версий с 0 до 2 (в секундах)
N 60 000 000 120 000 000 180 000 000 240 000 000
Версия V0 17,002 34,004 51,008 67,970
Версия V1 16,776 33,549 50,337 66,989
Версия V2 2,871 5,727 8,649 11,230

Как видно из таблицы 9.4, время работы версии 2 почти в 6 раз меньше, чем версии 1. В дальнейших модификациях будем использовать именно функцию erff().

Версия 3. Векторизация: использование ключевого слова restrict

Возможности алгоритмической оптимизации на этом в основном исчерпаны. Перейдем к векторизации расчетного цикла. Прежде всего, необходимо сменить режим компиляции, указав в командной строке ключ –mavx, в противном случае компилятор будет использовать наборы команд SSE, но не AVX.

Проведя эксперименты с собранной версией, можно убедиться, что время работы функции GetOptionPricesV2() не изменится. Чтобы понять, в чем дело, укажем при сборке ключ -vec-report3, "попросив" компилятор выдать отчет о векторизации. Цифра "3" соответствует степени подробности отчета, соответствующей выдаче информации о векторизованных/невекторизованных циклах, а также причинах отсутствия векторизации. Заметим, что в последних версиях компилятора появился новый, шестой тип отчета (-vec-report6), дополнительно дающий некоторые рекомендации относительно векторизации.

Отчет о векторизации приведен ниже ( рис. 9.2). К сожалению, в данном случае он не слишком информативен. Заметим, что при компиляции данного кода при помощи Intel C/C++ Compiler for Windows в отчете можно увидеть фразу о том, что возможны зависимости между массивами. В целом, наш опыт говорит о том, что диагностики компиляторов Intel для C/C++ чаще всего позволяют догадаться, что именно мешает векторизации.

Вернемся к вопросу о том, как "уговорить" компилятор векторизовать цикл.

Отчет компилятора о векторизации

Рис. 9.2. Отчет компилятора о векторизации

Объяснить компилятору, что опасности нет, можно разными способами: используя ключевое слово restrict в объявлении формальных параметров функции, с помощью директивы #pragma ivdep, с помощью директивы #pragma simd перед циклом. Кроме перечисленного, можно указать специальную опцию, которая подскажет компилятору, что массивы в программе никогда не пересекаются, но эта опция действует на всю программу целиком и при неаккуратном использовании может "сломать" код.

Рассмотрим сначала первый вариант. Ключевое слово restrict в объявлении указателей говорит о том, что в данную область памяти не будут обращаться при помощи других указателей. Это дает компилятору информацию о том, что массивы pT, pK, pS0 и pC не пересекаются, а, следовательно, запись pC[i] не оказывает никакого влияния на значения в других массивах, то есть можно безопасно менять порядок вычислений, организуя их векторно.

__declspec(noinline) void GetOptionPricesV3(
  float * restrict pT, float * restrict pK, 
  float * restrict pS0, float * restrict pC)
{
  int i;
  float d1, d2, erf1, erf2;

  for (i = 0; i < N; i++)
  {
    d1 = (logf(pS0[i] / pK[i]) + (r + sig * sig * 0.5f) *
         pT[i]) / (sig * sqrtf(pT[i]));
    d2 = (logf(pS0[i] / pK[i]) + (r - sig * sig * 0.5f) * 
         pT[i]) / (sig * sqrtf(pT[i]));
    erf1 = 0.5f + 0.5f * erff(d1 / sqrtf(2.0f));
    erf2 = 0.5f + 0.5f * erff(d2 / sqrtf(2.0f));
    pC[i] = pS0[i] * erf1 - pK[i] * expf((-1.0f) * r * 
            pT[i]) * erf2;
  }
}

Добавьте в массив указателей GetOptionPrices, новую функцию.

tGetOptionPrices GetOptionPrices[9] = 
{ GetOptionPricesV0, GetOptionPricesV1, GetOptionPricesV2,
  GetOptionPricesV3 };

Для корректной сборки программы, в которой используется ключевое слово restrict, необходимо указать в командной строке одноименную опцию.

icc -O2 –restrict -mavx ...

Соберите программу и проведите эксперименты.

На описанной ранее инфраструктуре авторы получили следующие времена.

Таблица 9.5. Время работы версий с 0 до 3 (в секундах)
N 60 000 000 120 000 000 180 000 000 240 000 000
Версия V0 17,002 34,004 51,008 67,970
Версия V1 16,776 33,549 50,337 66,989
Версия V2 2,871 5,727 8,649 11,230
Версия V3 0,522 1,049 1,583 2,091

Как видно из таблицы 9.5, время работы версии 3 примерно в 5.5 раз меньше, чем версии 2. Процессор, на котором проводились эксперименты, способен с использованием AVX выполнять операции одновременно над 8 элементами типа float. Почему код ускорился в меньшее число раз, чем должен, предлагаем выяснить читателям самостоятельно, собрав профиль работы функции, использую Intel VTune Amplifier XE (обратите внимание на вызовы математических функций и примените закон Амдаля).

Svetlana Svetlana
Svetlana Svetlana

Здравствуйие! Я хочу пройти курс Введение в принципы функционирования и применения современных мультиядерных архитектур (на примере Intel Xeon Phi), в презентации самостоятельной работы №1 указаны логин и пароль для доступ на кластер и выполнения самостоятельных работ, но войти по такой паре логин-пароль не получается. Как предполагается выполнение самосоятельных работ в этом курсе?