НОУ ИНТУИТ | Введение в линейную алгебру. Лекция 2: Определители и их свойства. Определители второго порядка и их свойства. Определители третьего порядка и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.10.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 4378 / 711 | Оценка: 4.09 / 3.28 | Длительность: 11:25:00

Тема: Математика

Специальности: Математик

Теги: линейные пространства, метод Гауса, определители, векторы, матрицы

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: В лекции рассказывается о системах линейных уравнений со многими неизвестными и постоянными коэффициентами и некоторых базовых способах поиска решения

Ключевые слова: вес, коэффициенты, коэффициентами системы, определитель, ПО, значение, слово, прямой, множитель, индекс, Алгебраическим дополнением, доказательство, пересечение

Определители второго порядка и их свойства

На практике часто исследователю приходится иметь дело с неизвестными величинами, связанными между собой некоторыми заранее определенными зависимостями, которые могут быть выражены любыми формулами. Если при этом выполняется ряд условий:

коэффициенты в формулах постоянные,
неизвестные входят в формулы только в первой степени,
отсутствуют произведения между самими неизвестными,

то тогда такие зависимости называют линейными.

Пример. В лаборатории 10 образцов имеют общий вес 280 г. Найти средний вес одного образца, если тара весит 15 г.

Решение. Для ответа на вопрос воспользуемся простым уравнением:

10x+15=280,

обозначив за x средний вес одного образца. Решением составленного уравнения будет 26,5 г.

Пример. В лаборатории 10 образцов, поступивших от 1 отдела, и 10 образцов, поступивших от 2-го отдела, имеют общий вес 280 г, а 5 образцов из первого набора и 2 образца из второго набора имеют общий вес 128 г. Найти средний вес образцов в каждом наборе.

Решение. Для ответа на вопрос составим два уравнения, обозначив за x - средний вес образца породы 1, а за y - средний вес образца породы 2,

10x+10y=280;
5x+2y=128,

решая которые совместно, получаем x=24 г; y=4 г.

В обоих рассмотренных примерах мы имели дело с линейными зависимостями: в первом случае – с линейным уравнением, а во втором – с линейной системой уравнений.

Заменим коэффициенты буквами и получим линейную систему уравнений:

$\left\{ \begin{aligned} a_{11}x+a_{12}y=b_1; \\ a_{21}x+a_{22}y=b_2, \end{aligned} \right.$

( 1.1)

где a₁₁, a₁₂, a₂₁, a₂₂, b₁, b₂, - некоторые числа, x, y - неизвестные. Составим из коэффициентов системы (1.1) прямоугольную таблицу вида

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$

( 1.2)

Определение 1. Матрицей будем называть любую прямоугольную таблицу, составленную из чисел a_ij

Определение 2. Элементы a_ij из которых составлена матрица, называют элементами данной матрицы

Определение 3. Определителем второго порядка или детерминантом, соответствующим матрице (1.2) назовем число D такое, что

$D=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}$

( 1.3)

Определитель обозначается буквами D или $\Delta$ и записывается

$D=\Delta= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{21}a_{12}.$

Следует обратить внимание, что хотя определитель есть число, по определению 3, но до тех пор пока не найдено его значение в виде единственного числа (по формуле 1.2 или еще каким-либо допустимым способом), он записывается в виде таблицы. Тогда можно сказать, например, о перестановке строк или столбцов в этой таблице. В таком случае следует говорить "определитель, соответствующий матрице". Но на практике обычно вторая часть этой фразы для простоты опускается и тогда остается только одно слово – определитель. Для того, чтобы различить что имеется в виду – сам определитель в виде таблицы или его найденное значение, во втором случае используют слово детерминант. Поэтому, если говорят, например, "количество строк в определителе…", то имеют в виду определитель, соответствующий матрице, но еще не вычисленный до единственного числа. А, если говорят детерминант, то имеют в виду, что данный определитель представлен единственным числом, вычисленным либо по формуле, либо еще каким-нибудь допустимым способом.

Пример. Дана система уравнений

$\left\{ \begin{aligned} & 2x+4y=3; \\ & 8x-y=6. \end{aligned} \right.$

Составить матрицу системы и вычислить определитель.

Решение. Из коэффициентов системы составим матрицу: $A= \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 8 & -1 \end{pmatrix}$ и соответствующий ей детерминант $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 8 & -1 \end{vmatrix} .$

Выполним вычисления по формуле (2), получим

$\Delta =(-1) \times 2-(4 \times 8)=-2-32=-34.$

Определение 4. Количество строк (или столбцов) в определителе называется порядком определителя

В примере был вычислен определитель второго порядка.

Определители обладают следующими свойствами.

Свойство 1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами и наоборот.

Покажем это. Пусть дан определитель второго порядка

$D= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} =a_1 b_2 - b_1 a_2.$

Заменим строки столбцами и снова вычислим получившийся определитель

$D^*= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} =a_1 b_2 - b_1 a_2.$

Сравнивая D с D^* можно убедиться, что D = D^*.

Определение 5. Операция замены строк столбцами (или наоборот) в определителе называется транспонированием.

Свойство 2. При перестановке двух строк или столбцов определитель меняет свой знак.

Поверку этого свойства проведем на примере, как и для свойства 1. Пусть дан определитель

$D= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} =a_1 b_2 - b_1 a_2.$

Поменяем в нем местами столбцы и вычислим получившийся определитель.

$D= \begin{vmatrix} b_1 & a_1 \\ b_2 & a_2 \end{vmatrix} =b_1 a_2 - a_1 b_2 = -(a_1 b_2 - b_1 a_2).$

Сравнивая результаты, убеждаемся, что определитель, действительно, поменял свой знак. Поменяем теперь местами строки и вновь убедимся в справедливости данного свойства.

$D= \begin{vmatrix} a_2 & b_2 \\ a_1 & b_1 \end{vmatrix} =b_1 a_2 - a_1 b_2 = -(a_1 b_2 - b_1 a_2)$

Заметим, что все остальные приводимые здесь свойства доказываются аналогично на примерах, очень просто и поэтому далее все свойства приводятся без доказательств. Читатель может в качестве упражнений самостоятельно проверить каждое из этих свойств.

Свойство 3. Если все элементы какого-либо столбца (или строки) матрицы умножить (или разделить) на одно и то же число m, отличное от нуля, то определитель также умножится (разделится) на это число.

$D= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} \cdot; \cdots \; \cdots D_1 = \begin{vmatrix} ma_1 & b_1 \\ ma_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} ma_1 & mb_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} =mD.$

Свойство 4. Определитель, у которого элементы одной строки (столбца) пропорциональны другой строке (столбцу), равен нулю.

$D= \begin{vmatrix} a_1 & ra_1 \\ a_2 & ra_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ ra_1 & rb_1 \end{vmatrix} =0$

Свойство 5. Если каждый элемент какой-либо строки (столбца) можно представить как сумму двух слагаемых, то определитель будет равен сумме двух определителей. У первого из слагаемых определителей элементами соответствующей строки (столбца) будет первое слагаемое, а у другого - второе. Остальные элементы этих определителей будут такие же, как у исходного.

$\begin{gathered} D= \begin{vmatrix} a_1+a_2 & a_3 \\ b_1+b_2 & b_3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_1 b_3 - b_1 a_3)+(a_2 b_3 - b_2 a_3) = \\ = (a_1 + a_2)b_3 - (b_1 + b_2)a_3. \end{gathered}$

Сравнивая результат с исходным определителем убеждаемся в справедливости пятого свойства.

Это свойство широко используется для практических вычислений при работе с определителями порядка больше трех.

Свойство 6. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо столбца(строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), предварительно умноженные на какое-либо число.

$D= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_1+b_1m & b_1 \\ a_2+b_2m & b_2 \end{vmatrix}.$

Определитель - очень удобная математическая форма, которая позволяет быстро находить решение систем линейных уравнений. Большинство задач, связанных с вычислительной математикой, используют математический аппарат теории определителей.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в линейную алгебру

Определители и их свойства. Определители второго порядка и их свойства. Определители третьего порядка и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения

Определители второго порядка и их свойства

Вопросы и ответы