Добрый день, Андрей.
Вы правы в том, что необходимо переопределить метод clone() в классе Point с  подходящим методом доступа (в данном примере подойдет только public), если вы хотите использовать его не только внутри текущего объекта класса Point.

Если вы не переопределите clone(), то это будет значить, что в строке 
clone.p=(Point)this.p.clone();
вы из объекта класса Test по ссылке типа Point пытаетесь получить доступ к защищенному методу класса Object(что и пишет вам компилятор). Защищенные методы доступны только для экземпляров классов-наследников. Хотя Test и Point напрямую наследуют классу Object, они находятся в разных ветках. Использовать метод clone() класса Object для объекта класса Test можно только в текущем же объекте класса Test(это делается в первом примере. Без переопределения метода clone() в классе Test). Для Point только в текущем объекте класса Point.

Вот рабочий вариант этого примера:

package intuit.tutor;

/**
 * Created by Talosar on 17.06.2015.
 */
public class Test implements Cloneable {
    Point p;
    int height;

    public Test(int x, int y, int z) {
        p=new Point(x, y);
        height=z;
    }

    public static void main(String s[]) {
        Test t1=new Test(1, 2, 3), t2=null;
        try {
            t2=(Test) t1.clone();
        } catch (CloneNotSupportedException e) {
            System.out.println("Some class doesn't implement Cloneable interface");
        }
        t1.p.x=-1;
        t1.height=-1;
        System.out.println("t2.p.x=" + t2.p.x + ", t2.p.y=" + t2.p.y +", t2.height=" + t2.height);
        System.out.println("t1.p.x=" + t1.p.x + ", t1.p.y=" + t1.p.y +", t1.height=" + t1.height);
    }

    protected Object clone() throws CloneNotSupportedException {
        Test clone=null;
        clone=(Test) super.clone();
        clone.p = (Point) this.p.clone();
        return clone;
    }
}

class Point implements Cloneable{
    public int x;
    public int y;

    Point(){
        super();
        x=0;
        y=0;
    }

    Point(int x, int y){
        super();
        this.x = x;
        this.y = y;
    }

    public Object clone() throws CloneNotSupportedException {
        Point clone=null;
        clone=(Point) super.clone();
        return clone;
    }
}

Будут еще вопросы - задавайте,  постараюсь вам помочь. Если что-то не удалось разъяснить  - уточняйте.