НОУ ИНТУИТ | Информационные основы вычислительной техники. Лекция 1: Основные понятия алгебры логики. Функции алгебры логики. Основные логические эквивалентности

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 05.06.2018 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Штрих Шеффера (И-НЕ)

Штрих Шеффера (И-НЕ)^{1Шеффер, Генри Морисс (1882-1964) –американский учёный украинского происхождения}

Таблица истинности
х	y	x / y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Основные свойства:

0/0 = 1

0/1 = 1

1/1 = 0

0/x = 1

$1/x = \overline{x}$

x/y = y/x

x/(y/z) ≠ (x/y)/z

Иногда ФАЛ "Штрих Шеффера" называют операцией "И-НЕ". И действительно, для двух переменных это так. Но если мы будем использовать большее количество переменных, то соотношение нарушается.

И, в то же время, для трёх и более переменных таблица истинности ФАЛ "Штрих Шеффера" совпадает с таблицей истинности функции "И-НЕ". Поэтому иногда в литературе можно встретить мнение о том, что операция "Штрих Шеффера" применима лишь для двух переменных. В остальных случаях следует говорить об операции "И-НЕ", при которой сначала выполняется конъюнкция всех переменных, от которых зависит ФАЛ, а затем проводится операция "НЕ" над полученным результатом.

Таким образом, для любого числа переменных функция "Штрих Шеффер" истинна, если хотя бы один из используемых аргументов ложен.

Покажем, что логическая функция x/(y/z) не эквивалентна ФАЛ (x/y)/z, то есть, что функции штрих Шеффера не действует сочетательный закон. Для этого построим таблицу истинности для первой и второй ФАЛ.

ƒ₁(x,y,z)=(x/y)/z
x	y	z	x/y	(x/y)/z
0	0	0	1	1
0	0	1	1	0
0	1	0	1	1
0	1	1	1	0
1	0	0	1	1
1	0	1	1	0
1	1	0	0	1
1	1	1	0	1

ƒ₂(x,y,z)=x/(y/z)
x	y	z	y/z	x/(y/z)
0	0	0	1	1
0	0	1	1	1
0	1	0	1	1
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	0	1

Как мы видим, таблицы истинности для первой и второй функций не совпадают, то есть эти функции не эквивалентны.

Также приведём таблицу истинности ФАЛ "И-НЕ" для трех переменных.

x	y	z	x&y&z	"И-НЕ"(x,y,z)
0	0	0	0	1
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	0	1
1	0	0	0	1
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	0

Стрелка Пирса (функция Вэбба) (ИЛИ-НЕ)^{2Чарльз Пирс – американский математик (1839—1914)}

Таблица истинности
х	y	x↓y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

В некоторых источниках можно встретить разночтения в названии и обозначении этой ФАЛ. Иногда ее называют элементом Вэбба, иногда обозначают вертикально вверх направленной стрелкой. Мы в дальнейшем эту логическую функцию будем называть стрелкой Пирса и обозначать стрелкой, направленной вертикально вниз.

Свойства

0↓0 = 1

0↓1 = 0

1↓1 = 0

0↓x =x

1↓x = 0

x↓y=y↓x

x↓(y↓z) ≠ (x↓y)↓z

В отношении этой функции можно сказать примерно то же самое, что было сказано по поводу ФАЛ "Штрих Шеффера": для функции от двух переменных она эквивалентна функции "ИЛИ-НЕ". В то же время ассоциативный закон для нее не выполняется.

Прервем на немного рассмотрение отдельных функций и расскажем о правилах, которые зачастую помогаю существенно упростить то или иное логическое выражение.

Правила де Моргана.^{3Огастес (Август) де Мо́рган – шотладский математик и логик (1806-1871)}Применительно к рассмотренным функциям, данные правила позволяют выполнить переход от одной формы представления логической функции к другой:

$\overline{x_{1} \And x_{2}...\And x_{n}} = x_{1}\vee x_{2}\vee ...x_{n}$

$\overline{x_{1}\vee x_{2}\vee ...x_{n}} =x_{1}\And x_{2}...\And x_{n}$

x₁ & x₂ & ... & x_n = x₁ v x₂ v ... x_n

x₁ v x₂ v ... x_n = x₁ & x₂ & ... & x_n

Или, описывая эти преобразования словесно, можно сказать, что "отрицание конъюнкций есть дизъюнкция отрицаний" и, в свою очередь, "отрицание дизъюнкций есть конъюнкция отрицаний".

Этими правилами мы будем в дальнейшем часто пользоваться.

При минимизации логических функций используются следующие эквивалентные преобразования.

Операция склеивания:

$xy \vee x \overline{y} = x$

( 1.1)

$(x\vee y) \And (x\vee\overline{y}) = x$

( 1.2)

Операция неполного склеивания:

$xy\vee x\overline{y} = x\vee xy\vee x\overline{y}$

$(x\vee y)\And (x \vee\overline{y}) = x \And (x\vee y)\And (x\vee\overline{y})$

Операция поглощения:

x v xy = x

Казалось бы, что операция неполного склеивания не имеет отношение к минимизации, так как получаемое выражение больше исходного. Однако, эта операция играет очень важную роль при минимизации, что бы позднее покажем.

А пока покажем эквивалентность, например, одной из операций склеивания:

$(x\vee y) \And (x\vee \overline{y}) = x$