Опубликован: 24.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 14:

Ультрафильтры и компактность

< Лекция 13 || Лекция 14: 12345678

Теорема 81. Нестандартный аналог *{A} множества A действительных чисел совпадает с A тогда и только тогда, когда множество A конечно.

Если A конечно, и, скажем, состоит из трех элементов p,q,r, то можно записать формулу

\forall x\, ((x\in A) \leftrightarrow ((x=p)\lor (x=q)\lor (x=r)).
По принципу переноса эта формула остается истинной в *\mathbb R, так что *{A} состоит из тех же трех элементов.

Пусть теперь A бесконечно. Покажем, что *{A} содержит элементы, не входящие в A. Пусть a_0,a_1,\ldots — последовательность различных элементов множества A. Напишем формулу, которая утверждает, что все элементы этой последовательности различны и принадлежат A. По принципу переноса все бесконечные члены этой последовательности (точнее, ее гипердействительного аналога) также различны, принадлежат *{A} и отличаются от всех конечных членов последовательности. Они и будут искомыми нестандартными элементами *{A}. В самом деле, бесконечный член a_\nu при бесконечном гипернатуральном \nu не может совпасть с конечными членами, а также не может совпасть со стандартным элементом a\hm\in A, не входящим в исходную последовательность (ибо утверждение " a_n\ne a при всех n " записывается формулой).

Галактикой гипердействительного числа \alpha называют множество всех гипердействительных \beta, для которых разность \alpha-\beta конечна.

178. Покажите, что множество гипердействительных чисел разбивается на галактики. Определите на галактиках естественное отношение линейного порядка и покажите, что этот порядок плотный и не имеет наибольшего и наимен

179. Каждое действительное число a, не являющееся двоично- рациональным, можно единственным образом записать в виде бесконечной двоичной дроби \ldots,a_0a_1\dots ; другими словами, ему соответствует последовательность нулей и единиц (нас будет интересовать лишь дробная часть после запятой). Фиксируем бесконечное гипернатуральное \nu и рассмотрим те числа a, у которых a_\nu=0. Покажите, что множество таких чисел переходит в свое дополнение при симметрии относительно любой двоично-рациональной точки (другими словами, {a\in
M}\hm\Leftrightarrow {r-a\notin M} для двоично-рациональных r ) и потому не может быть измеримым по Лебегу. \end{problem}

180. Докажите, что гиперрациональными числами являются отношения гиперцелых чисел и только они. Докажите, что каждое гипердействительное число бесконечно близко к некоторому гиперрациональному числу.

Покажем теперь, как можно ввести основные понятия математического анализа, используя бесконечно малые и бесконечно большие числа.

Теорема 82. Пусть M\subset\mathbb R. Множество M ограничено (в обычном смысле) тогда и только тогда, когда все элементы его гипердействительного аналога конечны.

Таким образом, в курсе нестандартного анализа можно определять ограниченные множества как множества, не содержащие бесконечных элементов.

Если все элементы M меньше некоторого стандартного a по модулю, то и все элементы *{M} меньше того же a (принцип переноса), поэтому в одну сторону утверждение очевидно.

Пусть теперь M не ограничено (скажем, сверху). Тогда в \mathbb R верно такое утверждение: для всякого c найдется элемент множества M, больший c. Применим принцип переноса и возьмем бесконечно большое c. Получим, что в *{M} есть бесконечно большой элемент.

181. Покажите, что если все элементы множества *{M} меньше некоторого гипердействительного c, то M ограничено.

182. Говорят, что множество S гипердействительных чисел является внутренним, если оно есть гипердействительный аналог некоторого множества A действительных чисел. Покажите, что множество конечных гипердействительных чисел не является внутренним.

183. Докажите, что множество S\subset*\mathbb R выразимо (в рассматриваемой нами сигнатуре, содержащей символы для всех функций и предикатов на множестве \mathbb R ) тогда и только тогда, когда оно является внутренним.

Нестандартный анализ позволяет дать естественные определения предельной точки и предела.

Теорема 83. Число a является предельной точкой последовательности действительных чисел a_0,a_1,\dots тогда и только тогда, когда найдется бесконечно далекий член последовательности, бесконечно близкий к a.

(Бесконечно далеким членом последовательности мы называем значение a_\nu при бесконечном гипернатуральном \nu.)

Если a является предельной точкой, то для всякого положительного \varepsilon и всякого натурального N найдется натуральное n\hm>N, для которого |a_n-a|\hm<\varepsilon. Применим принцип переноса, положив \varepsilon бесконечно малым и N бесконечно большим. Получим искомый бесконечно близкий к a член с бесконечно большим гипернатуральным номером.

Напротив, если для некоторого натурального N и для некоторого \varepsilon\hm>0 все члены последовательности, начиная с N -го, отстоят от a более чем на \varepsilon, то по принципу переноса все бесконечно далекие члены последовательности также отстоят от a более чем на \varepsilon.

184. Покажите, что число a принадлежит замыканию множества M\hm\subset\mathbb R тогда и только тогда, когда некоторый элемент множества *{M} бесконечно близок к a.

185. Как определить в терминах нестандартного анализа понятие предельной точки множества (в любой окрестности которой бесконечно много членов множества)?

Теперь видно, что нестандартный анализ позволяет в два счета доказать теорему о том, что всякая ограниченная последовательность имеет предельную точку: в самом деле, любой бесконечно далекий член этой последовательности конечен, и его стандартная часть будет предельной точкой!

Теорем 84. Последовательность a_0,a_1,\dots действительных чисел сходится к числу a тогда и только тогда, когда все ее бесконечно далекие члены бесконечно близки к a.

Пусть a является пределом. Тогда для всякого \varepsilon найдется N, начиная с которого все члены последовательности отстоят от a менее чем на \varepsilon. В частности, все бесконечно далекие члены таковы и их расстояние до a меньше любого стандартного \varepsilon.

Напротив, пусть a не является пределом и для всякого N найдется член a_n с номером n>N, отстоящий от a более чем на \varepsilon>0 (пока что все параметры стандартны). Применим принцип переноса, взяв N бесконечно большим, и найдем бесконечно далекий член последовательности, отстоящий от a более чем на стандартное \varepsilon>0.

Приведем теперь нестандартные критерии стандартных топологических понятий.

Теорема 85. Множество M\hm\subset\mathbb R открыто тогда и только тогда, когда вместо со всякой точкой m\hm\in M оно содержит и всю ее монаду, то есть все гипердействительные точки, бесконечно близкие к m.

(Cтрого говоря, следовало бы сказать "его нестандартный аналог *{M} " вместо "оно"; напомним также, что M и *{M} содержат одни и те же стандартные числа.)

Если M открыто и содержит вместе с точкой m\hm\in M ее \varepsilon -окрестность, то монада точки m по принципу переноса содержится в M.

Если же некоторая точка m\hm\in M не является внутренней и для всякого действительного \varepsilon>0 найдется точка вне M на расстоянии меньше \varepsilon, применим принцип переноса и возьмем бесконечно малое \varepsilon. Мы получим число, бесконечно близкое к m и не лежащее в *{M}.

Переходя к дополнениям, получаем, что множество M\subset\mathbb R замкнуто тогда и только тогда, когда любая стандартная точка, бесконечно близкая к некоторой точке из * M, принадлежит M.

На прямой компактными являются замкнутые ограниченные множества. Соединим нестандартные критерии замкнутости и ограниченности:

< Лекция 13 || Лекция 14: 12345678
Алексей Васильев
Алексей Васильев
Россия, Новосибирск
David Satseradze
David Satseradze
Грузия, Тбилиси