Опубликован: 24.04.2007 | Уровень: специалист | Доступ: платный
Лекция 8:

Игра Эренфойхта и понижение мощности

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >

Лемма 4. Пусть M'\subset M замкнуто относительно сигнатурных функций и экзистенциально замкнуто. Тогда M является элементарным расширением M'.

Отсюда уже вытекает утверждение теоремы 42: применим лемму 3 к некоторому счетному подмножеству множества M, а затем воспользуемся леммой 4.

Доказательство леммы 4 также довольно просто. Напомним определение элементарного расширения: требуется, чтобы

M'\vDash \varphi(a_1,\dots,a_n) \quad
\Leftrightarrow \quad
M \vDash \varphi(a_1,\dots,a_n)
для любой формулы \varphi(x_1,\dots,x_n) и для любых элементов a_1,\dots,a_n\hm\in M'.

(Формально следовало бы сказать: для любой формулы с параметрами и любой оценки, при которой все параметры принимают значения в M', истинность этой формулы в M' на этой оценке равносильна истинности той же формулы в M на той же оценке.)

Будем доказывать это индукцией по построению формулы \varphi. Для атомарных формул это очевидно: значения термов не зависят от того, проводим ли мы вычисления в M или M', а предикаты на M' индуцированы из M.

Если формула \varphi есть конъюнкция, дизъюнкция, импликация или отрицание, то ее истинность как в M, так и в M' определяется истинностью ее частей (и можно сослаться на предположение индукции).

Единственный нетривиальный случай — если формула \varphi начинается с квантора. Мы можем сократить себе работу и рассматривать только квантор существования, так как \forall\xi можно заменить на \lnot\exists\xi\lnot. Итак, пусть \varphi(x_1,\dots,x_n) имеет вид

\exists x\, \psi (x, x_1,\dots,x_n).
Если M'\vDash \varphi(a_1,\dots,a_n) для некоторых a_1,\dots,a_n\hm\in M', то по определению истинности найдется элемент m\hm\in M', для которого M'\vDash\psi(m,a_1,\dots,a_n). Тогда по предположению индукции (формула \psi короче формулы \varphi ) можно перейти к большей интерпретации и заключить, что M\vDash\psi(m,a_1,\dots,a_n), и потому по определению истинности M\vDash \varphi(a_1,\dots,a_n). Обратное рассуждение просто так не проходит, поскольку существующий элемент m существует в M, а не в M', и предположение индукции применить нельзя. Однако ровно для этого у нас есть требование экзистенциальной замкнутости, которое позволяет заменить элемент m на другой элемент из M' и завершить доказательство.

Вот пример применения теоремы Левенгейма-Сколема в алгебре: существует алгебраически замкнутое счетное подполе поля \mathbb C комплексных чисел. (В самом деле, требование алгебраической замкнутости можно записать в виде счетной последовательности формул — по одной для каждой степени многочлена. Аксиомы поля также можно записать в виде формул. Значит, счетная элементарная подмодель поля \mathbb C будет также алгебраически замкнутым полем.)

Впрочем, алгебраистов такое применение скорее насмешит — они и так знают, что алгебраические элементы поля \mathbb C (корни многочленов с целыми коэффициентами) образуют счетное алгебраически замкнутое поле.

Любопытный парадокс связан с попытками применить теорему Левенгейма-Сколема в теории множеств. Представим себе интерпретацию языка теории множеств (предикаты = и \in ), носителем которой является множество всех множеств. Такого множества, строго говоря, не бывает, но если про это забыть и применить теорему Левенгейма-Сколема об элементарной подмодели, то можно оставить лишь счетное число множеств так, чтобы истинность утверждений теории множеств не изменилась. Но среди этих утверждений есть и утверждение о существовании несчетного множества — как же так? Это рассуждение содержит столько пробелов, что указать один из них совсем нетрудно. Тем не менее оно может быть переведено в аксиоматическую теорию множеств и дает интересные (хотя уже не парадоксальные) результаты.

Два дополнительных замечания усиливают теорему Левенгейма-Сколема. Во-первых, легко видеть, что для всякого конечного или счетного подмножества A\hm\subset M найдется счетная элементарная подструктура M'\hm\subset M, содержащая все элементы A. (В самом деле, процесс замыкания, использованный при доказательстве, можно начинать с множества A.)

Во-вторых, можно отказаться от требования счетности сигнатуры и сказать так: для всякого подмножества A\subset M найдется элементарная подструктура M'\subset M, содержащая A, мощность которой не превосходит максимума из \aleph_0, мощности множества A и мощности сигнатуры. В самом деле, и конструкция замыкания относительно сигнатурных операций, и конструкция экзистенциального замыкания, и счетное объединение возрастающей цепи не выводят мощность за пределы указанного максимума, поскольку и формулы, и термы являются конечными последовательностями символов сигнатуры и счетного числа других символов (см. подробнее в [6]); то же самое можно сказать о числе возможных наборов значений параметров.

Мы научились уменьшать мощность структуры, не меняя множества истинных в ней формул. Можно, напротив, увеличивать мощность (соответствующее утверждение иногда называют теоремой Левенгейма-Сколема об элементарном расширении). Но эта конструкция использует теорему компактности для языков первого порядка, которая в свою очередь вытекает из теоремы Геделя о полноте. Поэтому мы отложим обсуждение этого утверждения до следующей лекции.

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Алексей Васильев
Алексей Васильев
Россия, Новосибирск
David Satseradze
David Satseradze
Грузия, Тбилиси