| Россия |
Инспектор
Вы можете этот курс.
Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный
Лекция 6:
Численное решение уравнений в частных производных эллиптического типа на примере уравнений Лапласа и Пуассона
6.6. Построение разностных схем для эллиптических уравнений на нерегулярных сетках. Монотонные схемы (подход А.С.Холодова)
В этом разделе будем следовать статье [16.11]. Кроме уравнений Лапласа и Пуассона, в этом разделе будем рассматривать произвольные уравнения эллиптического типа. Рассмотрим задачу
uxx + e12 uxy + e22 uyy + e1 ux + e2 uy = f(x, y, u)
eml(x, y, u) = {emlj}, em(x, y, u) = {emj},
m, l = 1, 2, j = 1, ... , J, e22 > e122/4.Последнее условие обеспечивает эллиптичность задачи. Задача решается в
произвольной замкнутой области с несколькими несвязными границами. Предположим сначала, что область не содержит входящих углов (т.е. таких, величина которых больше 
). В случае со входящими углами в решении эллиптических задач возникают особенности, во многих случаях необходимо сочетание численных методов и аналитических (асимптотических методов в окрестности входящего угла), подробнее в [16.12]. Индекс j — номер узла сетки; для простоты выкладок узлы сетки нумеруются одним индексом.
Запишем разностную схему для аппроксимации приведенного выше уравнения в каноническом виде
- точки, принадлежащие шаблону схемы (см. ниже), 
, причем неопределенные коэффициенты удовлетворяют условию монотонности 
. Здесь K — общее число внутренних сеточных узлов с одноиндексной нумерацией, i1, ... , ii — номера расположенных достаточно произвольно в области интегрирования внутренних и граничных сеточных узлов, 
— неопределенные коэффициенты. Часть этих коэффициентов (или все, если I = 5 ) определяются условиями аппроксимации первого порядка или второго порядка на решениях исходного уравнения. Эти условия получаются стандартно — проекция точного решения на нерегулярную сетку раскладывается в ряд Тейлора в окрестности точки uk. После несложных, но громоздких выкладок получаем, что следующие условия обеспечивают первый порядок аппроксимации:
Суммирование ведется по всем точкам, включенным в шаблон. Если к приведенным выше условиям добавить условия
то схема имеет второй порядок аппроксимации на решениях. Здесь введены обозначения Xi = xi - xk, Yi = yi - yk.
В обычных разностных методах шаблон фиксирован (т.е. все внутренние точки сетки имеют одинаковое число соседей). В данном подходе для каждой рассчитываемой точки k = 1, ... , K специальным образом подбираются соседи (сеточный шаблон) так, чтобы выполнялись условия неотрицательности коэффициентов в канонической форме записи разностной схемы. Эти условия обеспечивают неотрицательность разностного оператора ( мажорантность схемы ).
Получающийся в результате решения уравнений для условий аппроксимации первого порядка и неравенств, обеспечивающих монотонность схемы, для каждого k = 1, ... , K набор коэффициентов приводит к знакопостоянной линейной (или нелинейной для квазилинейных уравнений) системе уравнений
Условия неотрицательности неопределенных коэффициентов обеспечивают выполнение достаточных условий сходимости и принципа максимума, в том числе, при разрывных граничных условиях. Тогда простейший итерационный метод Якоби
является сходящимся.
Можно показать, что при весьма слабых ограничениях на расположение сеточных узлов в области интегрирования такие схемы могут быть конструктивно построены. Этот же подход распространен на случай схем со вторым порядком аппроксимации на решениях.
