Лекция 5: Численное решение уравнений в частных производных гиперболического типа с большими градиентами решений

5.9. TVD - схемы для квазилинейного уравнения с антидиффузией.

Повысить порядок аппроксимации TVD - схем можно, введя в уравнение переноса антидиффузионный член

где дополнительный антидиффузионный поток имеет порядок погрешности аппроксимации и вводится по формуле

Очевидно, что это дополнительное слагаемое в исходном уравнении будет иметь вид

Таким образом, проведена коррекция потока, компенсирована аппроксиммационная вязкость. Хартен предложил модифицировать поток, введя в него функцию P:

причем разные TVD - схемы различаются выбором этого слагаемого P. В исходном варианте разностной схемы, предложенной Хартеном, эта функция выбиралась следующим образом:

где ,

Эта схема, тем не менее, приводила к заметному размазыванию разрывов в решении.

Приведем также другие виды ограничительной функции. Общий вид записи лимитера будет один и тот же:

а Q_{m + 1/2} может выбираться из следующих вариантов:

Еще один вариант выбора лимитера в уравнении квазилинейного типа будет

С согласованным выбором функции .

Введем обозначения показателей локальной гладкости решения

и представим функции Q(r ^-, r ⁺), входящие в выражения для ограничения потока, в виде

Итак, напомним основные идеи, направленные на построение TVD - схем повышенного порядка точности:

• - построение гибридных схем, аналогичных методу коррекции потоков [15.17];
• - построение схем с модифицированным по Хартену потоком [15.18];
• - построение схем, основанных на методе Годунова второго порядка аппроксимации [15.20], [15.21].