НОУ ИНТУИТ | Численные методы решения уравнений в частных производных. Лекция 3: Численные методы решения уравнений в частных производных гиперболического типа (на примере уравнения переноса)

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 25.10.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

3.9. Задачи

Для линейного уравнения переноса
$\frac{{\partial}u}{{\partial}t} - \frac{{\partial}u}{{{\partial}{x}}} = 0$

предложить схему N + 1 порядка аппроксимации.

Указание. Рассмотреть невязку, образующуюся при замене дифференциального уравнения разностным

$\frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} - \frac{{u_{{m} + 1}^{n} - u_m^{n}}}{h} = 0.$

Решение. Проведем исследование разностного уравнения на аппроксимацию. Для этого представим сеточные функции $u_m^{n + 1}$ и $u_{{m} + 1}^{n}$ в виде разложения проекции на сетку точного решения дифференциальной задачи в ряд Тейлора:

$\begin{gather*} u_{{m} + 1}^{n} = u_m^{n} + h \left({u^{\prime}_x }\right)_m^{n} + \frac{{h^2}}{{2!}} \left({u^{\prime\prime}_x }\right)_m^{n} + \frac{{h^3 }}{{3!}} \left({u^{\prime\prime\prime}_x }\right)_m^{n} + \frac{{h^4 }}{{4!}} \left({u_x^{IV}}\right)_m^{n} + \ldots + \\ + \frac{{h^{N}}}{{{N}!}} \left({u_x^{(N)}}\right)_m^{n} + O(h^{N + 1}), \\ u_m^{n + 1} = u_m^{n} +{\tau}\left({u^{\prime}_t }\right)_m^{n} + \frac{{{\tau}^2}}{{2!}} \left({u^{\prime\prime}_t }\right)_m^{n} + \frac{{h^3 }}{{3!}} \left({u^{\prime\prime\prime}_t }\right)_m^{n} + \frac{{h^4 }}{{4!}} \left({u_t^{IV}}\right)_m^{n} + \ldots + \\ + \frac{{{\tau}^{N}}}{{{N}!}} \left({u_t^{(N)}}\right)_m^{n} + O({\tau}^{N + 1}) . \end{gather*}$

Отсюда получим с учетом того, что $u_t^{\left({k}\right)} = u_x^{\left({k}\right)}$ :

$\frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} - \frac{{u_{{m} + 1}^{n} - u_m^{n}}}{h} = \left({u^{\prime}_t - u^{\prime}_x }\right)_m^{n} + r_{\tau},$

где $r_{\tau }$ — невязка, вычисляемая в точке (tⁿ, x_m) по формуле

$\begin{gather*} r_{\tau} = \frac{1}{2!}({\tau}- h)u^{\prime\prime}_x + \frac{1}{3!}({\tau}^2 - h^2 )u^{\prime\prime\prime}_x + \frac{1}{4!}({\tau}^3 - h^3 )u_x^{IV} + \ldots + \\ + \frac{1}{(N + 1)!}({\tau}^N - h^N)u_x^{(n + 1)} + O({\tau}^{n + 1}, h^{n + 1}) = \\ = \sum\limits_{k = 1}^{N}{\frac{h^k}{(k + 1)!}({\sigma}^k - 1)u_x^{(k + 1)} + }O({\tau}^{n + 1}, h^{n + 1}), \\ {\sigma}={\tau}/h \mbox{ - число Куранта.} \end{gather*}$

Аппроксимация частных производных высоких порядков, входящих в выражение для невязки с помощью конечных разностей, приводит к соотношению

$r_{\tau} = \frac{1}{h} \sum\limits_{k = 1}^{N}{\frac{{\sigma}^k - 1}{\left({k + 1}\right)!}{\Delta}^{k + 1}u_m^n} + O({\tau}^{N + 1}, h^{N + 1}).$

В таком случае, после переноса суммы по k в выражении для невязки в левую часть, получим разностную схему искомого порядка аппроксимации:

$\frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} - \frac{{u_{{m} + 1}^{n} - u_m^{n}}}{h} - \frac{1}{h} \sum\limits_{{k} = 1}^{N}{\frac{{{\sigma}^{k} - 1}} {{\left({{k} + 1}\right)!}} {\Delta}^{{k} + 1} u_m^{n} = 0, }$

или

$u_m^{n + 1} = u_m^{n} + {\sigma}{\Delta}^{+}u_m^{n} - {\sigma}\sum\limits_{k = 1}^{N}{\frac{{(1 - {\sigma}^{k})}}{{\left({k + 1}\right)!}} {\Delta}^{k + 1}u_m^{n} = 0.}$

Эта схема легко распространяется на уравнение

$\frac{{\partial}u}{{\partial}t} - a \frac{{\partial}u}{{\partial}x} = 0,$

если учесть, что

$\frac{{{\partial}^{k + l} u}}{{{\partial}t^{k}{\partial}x^{l}}} = (- 1)^{k} a^{k} \frac{{{\partial}^{k + l} u}}{{{\partial}x^{k + l}}}.$
Доказать устойчивость разностной схемы
$\begin{gather*} \frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} - \frac{{u_{m + 1}^{n} - u_m^{n}}}{h} = f_m^{n}, \\ n = 0, \ldots , N - 1, m = 0, \pm 1, \ldots , \pm \left({M - 1}\right), \\ u_m^0 = \varphi_m^{n}, m = 0, \pm 1, \ldots , \pm \left({M - 1}\right), \end{gather*}$

аппроксимирующую задачу Коши для уравнения переноса

$\begin{gather*} \frac{{\partial}u}{{\partial}t} - \frac{{\partial}u}{{\partial}x} = f(t, x) t \in \left[{0, T}\right],\\ x \in (- \infty , \infty ), \quad u(0, x) = {\varphi}(x), \quad x \in \left({- \infty , \infty }\right), \end{gather*}$

используя второе определение устойчивости:

$\left\| {u_{\tau} }\right\| \le c \left\| f\right\| \mbox{ при } {\sigma}= \frac{\tau}{h} < 1.$

Решение. Перепишем разностную схему в виде, разрешенном относительно следующего слоя по времени

$\begin{gather*} u_m^{n + 1} = \left({1 - {\sigma}}\right)u_m^{n} + {\sigma}u_{m + 1}^{n} +{\tau}f_m^{n}, \\ u_m^0 = \varphi_m . \end{gather*}$

Определим норму в пространстве сеточных функций как

$\left\|{u_\tau}\right\| = \sup\limits_{n, m} \left|{u_m^n}\right| = \max\limits_n \sup\limits_m \left| {u_m^n}\right|.$
Если $1 - {\sigma}\ge 0$ , то справедлива оценка

$\begin{gather*} \left\| {(1 - {\sigma})u_m^{n} + {\sigma}u_{m + 1}^{n}}\right\| \le \left| {(1 - {\sigma}) + {\sigma}}\right| \max\limits_n \left({\left|{u_m^{n}}\right|, \left| {u_{m + 1}^{n}}\right|}\right) = \\ = \max\limits_n \left({\left| {u_m^{n}}\right|, \left| {u_{m + 1}^{n}}\right|}\right) \le \max\limits_m \left| {u_m^{n}}\right|. \end{gather*}$

В таком случае

$\left| {u_m^{n + 1}}\right| \le \max\limits_m \left|{u_m^{n}}\right| +{\tau}\left|{f_m^{n}}\right| \le \max\limits_m \left| {u_m^{n}}\right| + \tau \max\limits_{{m, n}} \left| {f_m^{n}}\right|.$
Отсюда видно, что при $f_m^{n} = 0$ норма решения ${|u_m^{n} |$ не возрастает при возрастании n — выполняется принцип максимума. Поскольку правая часть в полученном неравенстве не зависит от m, то $\max\limits_m \left| {u_m^{n + 1}}\right| \le \max\limits_m \left|{u_m^{n}}\right| +{\tau}\max\limits_{m, n} \left|{f_m^n}\right|$ .

Аналогично

$\begin{gather*} \max\limits_m \left| {u_m^{n}}\right| \le \max\limits_m \left|{u_m^{n - 1}}\right| + {\tau}\max\limits_{{m, n}} \left|{f_m^{n}}\right|, \\ \max\limits_m \left| {u_m^{n - 1}}\right| \le \max\limits_m \left| {u_m^{n - 2}}\right| + \tau \max\limits_{{m, n}} \left| {f_m^{n}}\right|, \ldots , \\ \max\limits_m \left| {u_m^1}\right| \le \max\limits_m \left| {u_m^0 }\right| +{\tau}\max\limits_{{m, n}} \left| {f_m^{n}}\right|. \end{gather*}$

Сложение этих неравенств дает

$\max\limits_m \left| {u_m^{n + 1}}\right| \le \max\limits_m \left| {u_m^0 }\right| + (n + 1) \tau \max\limits_{{m, n}} \left| {f_m^{n}}\right|,$
откуда получаем, с учетом того, что $t_{n} = n\tau$ :

$\begin{multline*} \max\limits_m \left| {u_m^{n + 1}}\right| \le \max\limits_m \left| {\varphi_m }\right| + t_{n + 1} \max\limits_{{m, n}} \left| {f_m^{n}}\right| \le \\ \le \left\| {f_{\tau} }\right\| + t_{n + 1} \left\| {f_{\tau} }\right\| = (1 + t_{n + 1}) \left\| {f_{\tau} }\right\|. \end{multline*}$

При этом учтено, что

$\left\| {\varphi_{\tau} }\right\| = \left\| {f_{\tau} }\right\| = \max\limits_{{n, m}} \left| {f_m^{n}}\right| + \max\limits_m \left| {\varphi_m^{n}}\right|.$
Таким образом, получим

$\left\| {u_{\tau} }\right\| \le c \left\| {f_{\tau}}\right\|, \mbox{ где } c = 1 + t_{n + 1}$ .
Построить явную разностную схему первого порядка точности для аппроксимации линейного уравнения переноса
$\frac{{\partial}u}{{\partial}t} - \frac{{\partial u}}{{\partial}x} = f(t, x),$
используя ее запись в общем виде через неопределенные коэффициенты
${\mathbf{L}}_{\tau} u_{\tau} = c_1 u_m^{n + 1} + c_2 u_m^{n} + c_3 u_{m + 1}^{n} = f_m^{n}$ ,

на шаблоне "явный правый уголок".

Решение. Будем подбирать коэффициенты c_i таким образом, чтобы выполнялось условие аппроксимации первого порядка ${\mathbf{L}}_{\tau} U_{\tau} = \left. {{\mathbf{L}}u}\right|_{t_n , x_m } + O({\tau}+ h)$ .

Разложение сеточных функций $u_m^{n + 1}$ и $u_{m + 1}^{n}$ в ряды Тейлора в окрестности точки x_m, t_n приводит к равенствам

$\begin{gather*} u_m^{n + 1} = u_m^{n} +{\tau}\left({u^{\prime}_t } \right)_m^{n} + O({\tau}^2 ), \\ u_{m + 1}^{n} = u_m^{n} + h \left({u^{\prime}_x }\right)_m^{n} + O(h^2 ). \end{gather*}$

Подстановка этих разложений в разностную схему с неопределенными коэффициентами дает

$\begin{gather*} {\mathbf{L}}_{\tau} U_{\tau} = c_1 u_m^{n + 1} + c_2 u_m^{n} + c_3 u_{m + 1}^{n} = \\ = (c_1 + c_2 + c_3 )u_m^{n} + c_1 \tau (u^{\prime}_t )_m^{n} + c_3 h(u^{\prime}_x )_m^{n} + O({\tau}^2 + h^2 ) = \\ = (c_1 + c_2 + c_3 )u_m^{n} + c_1 \sigma h({\mathbf{L}}u)_m^{n} + (c_1 {\sigma}+ c_3 )h (u^{\prime}_x )_m^{n} + O(h^2 ), \end{gather*}$

поскольку можно считать независимыми переменными шаг по пространству и число Куранта, а для шага по времени получаем очевидное выражение $\tau = \sigma h$ , $\sigma = const$ .

Здесь использованы очевидные равенства для дифференциального оператора

$\frac{{\partial}u}{{\partial}t} = {\mathbf{L}}u + \frac{{\partial}u} {{\partial}x}, \frac{{\partial}u}{{\partial}x} = \frac{{\partial}u}{{\partial}t} - {\mathbf{L}}u.$

Для выполнения условия аппроксимации первого порядка

${\mathbf{L}}_{\tau}{U}_{\tau} \left| {_{t_n , x_m }}\right. = \left. {{\mathbf{L}}u}\right|_{t_n , x_m } + O(h)$
необходимо выполнение условий порядка

$c_{1}\sigma h = 1 + O(h), \\ c_{1} + c_{2} + c_{3} = 0 + O(h), \\ (c_{1} + c_{3})h = 0 + O(h).$

Если положить O(h) = 0, поскольку это некое число, стремящееся к нулю при измельчении шага, то условия порядка примут вид

$c_{1}\sigma h = 1, \\ c_{1} + c_{2} + c_{3} = 0, \\ c_{1} + c_{3} = 0.$

Эта схема линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение:

$c_1 = \frac{1}{{{\sigma}h}} ={\tau}^{- 1}, c_2 = \frac{{{\sigma}- 1}}{{{\sigma}h}} = h^{- 1} -{\tau}^{- 1}, c_3 = - h^{- 1} .$

Получили коэффициенты уже известной разностной схемы первого порядка аппроксимации на заданном шаблоне:

$\frac{{u_m^{n + 1} - u_m^{n}}}{\tau} - \frac{{u_{m + 1}^{n} - u_m^{n}}}{h} = f_m^{n}.$

Несложно проверить, что учет O(h) привел бы к незначительной коррекции результата.

Конечно, выбранная разностная схема легко получается и из других соображений. Но с помощью метода неопределенных коэффициентов удается построить схемы с хорошими свойствами для более сложных уравнений и систем.

Дальше >>