Анализ функционирования систем

8.2. Примеры анализа функционирования систем.

Функционирование естественных неживых систем (Солнечная система, атом) — это воспроизводство внутренних отношений. Функционирование естественных живых систем (организм) — это поддержание некоторого уровня внутренних отношений (гомеостазис). Приведем примеры анализа функционирования искусственных систем.

* ПРИМЕР 1. Анализ функционирования автоматической системы управления [120, 204].

I этап. Идентификация.

Автоматические системы управления (САУ) являются предметом исследования частно-научной теории автоматического управления (ТАУ).

По определению, САУ охватывает объект управления (ОУ) и управляющего устройства (УУ). Системообразующие свойства САУ — информационные, среди которых объект управления со своими технологическими свойствами отображается производственной функцией F(t). Назначение САУ — управлять производственной функцией F(t), функция САУ Ф(t) — это функционал от F(t) — Ф[F(t)]. Таким образом, применение САУ позволяет понизить сложность функционала технологической системы до уровня функции системы управления (рис. 28).

Отличие от АСУ в этом примере заключается в следующем: объект-носитель — это ОУ и УУ; системообразующие свойства — это информационные свойства не только УУ, но и ОУ; в базе системы обычно отсутствует организационное обеспечение (персонал); все отношения в САУ, как правило, могут быть отображены в аналоговой форме. "Безлюдность" САУ позволяет использовать для ее анализа высокоразвитые и эффективные формальные методы ТАУ.

Рис. 28. Общая схема автоматической системы управления.

Обозначения: X(t), Y(t) — входной и выходной вектор технологических процессов объекта управления; X1(t), Y1(t) — входной и выходной вектор информационных процессов системы управления.

Управление осуществляется на основании контроля выходного и входного векторов функции ОУ по заранее заданному заданию (или по другому закону):

(см. рис. 29).

Рис. 29. Внешняя функциональная структура САУ.

Внешняя среда здесь учитывается векторами , а также факторами, учтенными при синтезе САУ.

Вектор управления определяется разницей векторов

, где — вектор рассогласования, и вектором возмущений X(t):

(1).

Определяются типовые элементы (звенья) САУ: безынерционные, инерционные, интегрирующие, дифференцирующие, запаздывающие и др. Состав САУ рассматривается как набор типовых звеньев.

II этап. Функция.

В ТАУ функция , а функционал

Если САУ удовлетворяет условиям динамической системы, то ее функция преобразования одного входного сигнала x(t) в один выходной y(t) может иметь в общем случае форму обыкновенного дифференциального уравнения:

Ф[y(t), y'(t), ..., y⁽ⁿ⁾(t); x(t), x'(t), ..., x⁽ⁿ⁾(t), t]=0 (2),

или в упрощенном случае в форме линейного дифференциального уравнения вида:

где a_i, b_i — коэффициенты уравнения.

Преобразованием Лапласа заменяют дифференциальное уравнение (3) на алгебраическое:

или D(p)Y(p)=K(p)X(p), где D(p) — собственный оператор, K(p) — входной оператор. Тогда функцию САУ, равную y(t)/x(t) можно заменить на передаточную функцию:

W(p)=Y(p)/X(p)=K(p)/D(p) (5).

Функция (5) и функциональная структура (4) САУ стационарны. Их устойчивость определяется дополнительными методами теории устойчивости, в результате чего на систему накладываются дополнительные условия.

Таким образом, прежде чем начать анализ функционирования САУ, мы вынуждены были провести ее общий системный анализ в соответствии с общим алгоритмом и теорией автоматического управления. При этом на САУ наложен ряд ограничений: 1) замена взаимных внешних отношений системы на однонаправленные входные и выходные сигналы; 2) выделение в САУ объекта управления и управляющего устройства: 3) использование заданной извне уставки функционала по отношению к управляемой величине; 4) ограничение внешних возмущающих воздействий; 5) линейность внешних (задающего и возмущающего) воздействий; 6) разделение САУ по типам на беспоисковые, поисковые, экстремальные, адаптивные; 7) направленность передачи воздействий; 8) применимость обыкновенных дифференциальных уравнений; 9) сосредоточенность параметров; 10) разбиение системы на цепи элементов однонаправленного преобразования входного сигнала в выходной; 11) применимость линейных дифференциальных уравнений; 12) применимость преобразований Лапласа.

III этап. Функционирование САУ.

В простейшем случае функционирование САУ описывается выражением

Y(p)=W(p)X(p) (6).

Однако, даже это простое выражение теория не рассматривает в общем случае, путем решения уравнений (4) и (3), а сводит задачу к рассмотрению совокупности типовых X(p) и W(p).

Типовые воздействия на САУ во времени t:

а) единичное ступенчатое воздействие

б) единичное импульсное воздействие или дельта-функция

в) гармоническое воздействие

где x_m — амплитуда сигнала, — круговая частота, рад/с, T — период сигнала, с;

г) линейное воздействие

где а₁ — const.

Все четыре типовых воздействия носят регулярный (детерминированный) характер, т. е. описываются математической функцией во времени. Однако, сигналы могут быть и нерегулярными (случайными), тогда для их описания используются средства математической статистики.

Любая САУ может находится в статическом режиме, когда y(t)=const, и в динамическом режиме, когда y(t)=var. Динамический режим может быть неустановившимся (переходным), сразу после изменения характера x(t), и установившимся, когда y(t) изменяется по тому же закону, что и x(t).

Обычно входные воздействия сводятся к типовым, в частности, к гармоническим, путем разложения любой периодической функции с периодом T

x(t)=x(t+iT), (i=0, 1, 2, ...),

удовлетворяющей условиям Дирихле (конечное число разрывов на интервале периода T), в бесконечный сходящийся тригонометрический ряд Фурье

где — круговые частоты, соответственно, основной и k-ой гармоник, рад/с; а₀, а_k, b_k — независимые от t коэффициенты Фурье.

Непериодический сигнал может быть в предельном переходе заменен интегралом Фурье.

IY этап. Отображение САУ в системном пространстве.

В системном пространстве САУ отображается, прежде всего, передаточной функцией W(p), применение которой облегчается использованием математического аппарата, описывающего x(t) и y(t). Передаточная функция системы формируется по определенным правилам из передаточных функций отдельных звеньев. Для удобства, параллельно с W(p), вводится еще ряд типовых временных и частотных характеристик САУ:

а) передаточная характеристика h(t), как изменение выходной величины y(t) во времени, возникающее после подачи на вход единичного ступенчатого воздействия, при нулевых начальных условиях;

б) импульсная переходная характеристика , как изменение выходной величины y(t), возникающее после подачи на вход -функции, при нулевых начальных условиях;

в) амплитудно-частотная характеристика , как зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты;

г) фазо-частотная характеристика , как зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты;

д) амплитудно-фазо-частотная характеристика , модуль которой равен , а аргумент — .

Таким образом, анализ функционирования САУ сводится к описанию x(t) в типовых формах, к описанию САУ передаточной функцией и типовыми характеристиками и к вычислению y(t) по выражению (6) и другим типовым зависимостям.

* ПРИМЕР 2. Анализ финансово-хозяйственной деятельности государственного предприятия [10, 72, 176].

I этап. Идентификация.

Определим финансово-хозяйственную деятельность предприятия как производственный процесс, направленный на производство товарной продукции. Носитель системы — предприятие. Системообразующие свойства: 1) технологические, направленные на производство потребительской стоимости; 2) финансовые, позволяющие оценивать производимую потребительскую стоимость. Производственная система — это совокупность технологических и финансовых свойств предприятия, реализующих (в форме производственного процесса) функцию по производству товарной продукции. База системы: основные фонды предприятия, трудовые ресурсы, оборотные средства, система управления. Внешняя среда: покупатели, поставщики, финансовая система государства, руководящее министерство, прочие (рис. 30).

Рис. 30. Упрощенная схема внешних связей производственной системы.

Уточним границы производственной системы: множество покупателей, формирующих цену спроса и потребляющих продукцию; множество поставщиков, формирующих цену предложения и поставляющих сырье; множество аналогичных систем, формирующих уровень рентабельности; государственная финансовая система, охватывающая как рыночные отношения (спроса, предложения, рентабельности), так и государственные регуляторы (эмиссия денег, золотой запас, учетная ставка, процент банковского кредита, антимонопольные законы, льготы, государственные программы, государственный сектор, государственный бюджет, законы по труду, пенсионному обеспечению и т. д.); руководящее министерство.

С учетом уточнения можно отметить, что в современных условиях ни в одном государстве ни одна производственная система не может производить стоимость по условиям "чистого рынка": спрос — предложение — рентабельность. Однако, в условиях централизованного управления всей экономикой (уровнем рентабельности) и обществом (спросом и предложением) понятие производственной системы предприятия теряет смысл. Сильным приближением является отнесение системы к экономике в целом и достаточно точным является отнесение системы к совокупности экономика — общество. Из приведенного уточнения понятий, однако, не следует, что эффективней работает множество производственных систем, чем одна система экономика — общество, или наоборот. Оптимизация любой из этих систем — многокритериальная, многопараметрическая задача, имеющая свои экстремумы, локальные оптимумы и глобальный оптимум, но по заданному критерию. В системе "экономика — общество СССР" выбранные критерии и их оптимизация оказались недостаточно эффективными и не оправдали основы самой системы.

II этап. Предпосылки анализа функционирования.

Проведенная на I этапе идентификация позволяет получить статическое описание производственной системы. Для описания ее функционирования необходимо все параметры системы представить в функции времени. Однако, теория микроэкономики требуемые временные зависимости заменяет набором их дискретных значений (планируемых и текущих). Планируемые значения могут фиксироваться на сутки, неделю, месяц, год и т. п., а текущая — как в плановые, так и в другие моменты времени.

При проведении анализа функционирования основными источниками информации служат стандартные формы отчетности: 1 — баланс; 2 — прибыли (доходы) и убытки; 3 — движение уставного (неделимого) фонда; 4 — недостача, хищения и порча товарно-материальных и других ценностей; 1-П — отчет о выполнении плана по продукции; 1-С — приложение к отчету о выполнении плана по себестоимости товарной продукции; 2-Т — отчет о выполнении плана по труду; 2-НТ — отчет о выполнении плана по основным показателям технического прогресса; 10-НТ — отчет о затратах на проведение научно-технических мероприятий и их экономической эффективности; 11 — наличие и движение основных средств (фондов) и амортизационного фонда; 13 — отчет о распределении прибыли; 22 — сводная таблица основных показателей, комплексно характеризующих хозяйственную деятельность предприятия; 24 — электробаланс, состав энергетического оборудования и отчет о работе электростанций (электрогенераторных установок); 31 — реализация промышленной продукции; формы квартальной отчетности.

III этап. Анализ функционирования.

Задача 3.1. Анализ производства и реализации продукции, в том числе:

1. выполнения плана производства товарной продукции;
2. выполнения плана по номенклатуре, ассортименту и структуре выпущенной продукции;
3. качества продукции;
4. реализации продукции;
5. резервов увеличения выпусков и реализации товарной продукции.

Задача 3.2. Анализ труда и заработной платы, в том числе:

1. численности работающих;
2. использования рабочего времени;
3. производительности труда;
4. использования фонда заработной платы;
5. резервов роста производительности труда и экономии фонда заработной платы.

Задача 3.3. Анализ основных промышленно-производственных фондов, в том числе:

1. наличия и структуры основных фондов;
2. состояния и движения основных фондов;
3. вооруженности труда основными фондами;
4. использования производственных основных фондов.

Задача 3.4. Анализ технического уровня производства, в том числе:

1. коэффициента износа основных фондов;
2. коэффициента обновления основных производственных фондов, в том числе их активной части;
3. фондо- и технической вооруженности труда;
4. обеспеченности средствами вычислительной техники;
5. машиноемкости, трудоемкости и материалоемкости производства.

Задача 3.5. Анализ себестоимости продукции, в том числе:

1. себестоимости товарной продукции;
2. выполнения сметы затрат на производство;
3. выполнения плана себестоимости товарной продукции по статьям калькуляции;
4. затрат на рубль товарной продукции;
5. себестоимости важнейших видов изделий;
6. резервов снижения себестоимости продукции.

Задача 3.6. Анализ состояния и использования оборотных фондов, в том числе:

1. обеспеченности предприятия собственными оборотными и приравненными к ним средствами;
2. состояния оборотных средств;
3. эффективности использования оборотных средств;
4. общая оценка финансового состояния предприятия (сопоставление внеплановых активов по балансу с внеплановыми источниками средств);
5. резервов улучшения использования оборотных средств.

Задача 3.7. Анализ прибыли и рентабельности, в том числе:

1. балансовой прибыли;
2. уровня общей рентабельности.

Рассмотренный пример анализа функционирования государственного предприятия, также как и пример синтеза частного предприятия, может решаться как экстремальная задача методами математического программирования (см. табл. 9, [2, 36, 53, 90, 196]).