Опубликован: 02.03.2017 | Уровень: для всех | Доступ: платный
Лекция 1:

Основы теории чисел

Лекция 1: 123456789 || Лекция 2 >

1.1.7 Простые и составные числа

Определение 1.8 Натуральное число p называется простым, если оно больше 1 и не имеет положительных делителей, отличных от 1 и p.

Определение 1.9 Натуральное число n называется составным, если оно больше 1 и имеет по крайней мере один положительный делитель, отличный от 1 и n.

Согласно определению 1.2, если n - составное, то существует такой делитель \delta, что n=n_1\delta, где 1<n_1<n, 1<\delta<n.

Число 1 не относят ни к простым, ни к составным числам.

Первыми простыми числами в натуральном ряду чисел являются 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 37, 41...

Среди простых чисел имеется лишь одно четное число 2.

Итак, множество всех натуральных чисел разбивается на три подмножества: 1) простые числа, 2) составные числа, 3) число 1.

1.1.8 Разложение составных чисел на простые множители

Теорема 1.9 (основная теорема арифметики) Всякое натуральное число n>1 либо просто, либо может быть представлено, и притом единственным образом (с точностью до перестановки множителей), в виде произведения простых чисел.

Отметим, что среди простых множителей числа могут встречаться одинаковые. Пусть, например, p_1 встречается \alpha_1 раз, p_2 встречается \alpha_2 раз, ..., p_k встречается \alpha_k раз; тогда разложение числа n на простые множители можно записать следующим образом:

n={p}_{1}^{\alpha_1 }\cdot {p}_{2}^{\alpha_2 }\dots {p}_{k}^{\alpha_k }. ( 1.1)

Множители p_1, p_2,\dots, p_k обычно располагают в порядке возрастания.

Определение 1.10 Представление натурального числа n в форме 1.1 называется каноническим; это представление единственно, его называют также факторизацией числа n.

Пример 1.6 1176=2^{3}\cdot3\cdot7^{2}$; $136125=5^{3}\cdot11^{2}.

Из канонического представления числа вытекают следующие предложения.

Следствие 1.3 Если a=p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k} - каноническое разложение числа a, то все делители этого числа имеют вид:

c=p_1^{\beta_1} \cdot p_2^{\beta_2} \cdots p_k^{\beta_k},

где 0\leq\beta_i\leq \alpha_i (i=1, 2, {\ldots}, k).

Пусть даны натуральные числа a и b. Их каноническое разложение всегда можно записать в виде:

a=p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdots p_k^{\alpha_k}, \qquad b=p_1^{\gamma_1} \cdot p_2^{\gamma_2} \cdots p_k^{\gamma_k}.

Мы предполагаем здесь, что \alpha_i и \gamma_i могут принимать и нулевые значения. Это позволит писать в обоих разложениях одни и те же простые числа p_1, p_2, \dots, p_s, а именно простые числа, которые входят в разложение хотя бы одного из чисел a и b. Справедливы следующие утверждения.

Следствие 1.4 Наибольший общий делитель чисел a и b имеет вид:

НОД(a,b) = p_1^{\lambda_1}\cdot p_2^{\lambda_2}\cdots p_s^{\lambda_s},

где \lambda_i=\min(\alpha_i,\gamma_i).

Следствие 1.5 Наименьшее общее кратное чисел a и b имеет вид:

\LCM(a,b)=p_1^{\mu_1}\cdot p_2^{\mu_2}\cdots p_s^{\mu_s},

где \mu_i = \max(\alpha_i,\gamma_i).

Из этих свойств непосредственно следует тождество (a, b) \cdot [a, b] =a \cdot b. Эти утверждения переносятся и на случай более чем двух чисел.

1.1.9 Бесконечность множества простых чисел

Теорема 1.10 (Евклида) Множество простых чисел бесконечно.

Поучительно сравнить эту теорему и следующую.

Теорема 1.11 (об интервалах) В натуральном ряде существуют сколько угодно длинные интервалы, не содержащие ни одного простого числа.

Сопоставление фактов, вытекающих из теоремы Евклида и теоремы об интервалах, свидетельствует о сложном характере распределения простых чисел в натуральном ряде. Вопрос этот является одним из труднейших в математике.

1.1.10 Числовые функции

Рассмотрим некоторые функции, заданные на множестве натуральных чисел и связанные с арифметической природой этих чисел. Их называют числовыми функциями. Примерами таких функций могут служить:

  1. число \tau (n) всех натуральных делителей n;
  2. сумма \sigma (n) всех натуральных делителей числа n;
  3. число \varphi (n) натуральных чисел, меньших n и взаимно простых с n (функция Эйлера).

Теорема 1.12 Если каноническая запись числа n имеет вид:

n= {p}_{1}^{k_1} {p}_{2}^{k_2} {\dots} {p}_{m}^{k_m},

то число натуральных делителей числа n равно:

\tau(n)=(k_1+1)(k_2+1)\cdots (k_m+1).

Пример 1.7 Поскольку 60=2^{2}\cdot3\cdot5, то

\tau (60)=(2+1)(1+1)(1+1)=3\cdot2\cdot2=12.

Делителями числа 60 являются 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Их число действительно равно 12. Приведём формулу для \sigma (n).

Теорема 1.13 Если каноническая запись числа n имеет вид n= {p}_{1}^{k_1} \dots {p}_{m}^{k_m}, то

\sigma (n)= \frac{{p}_{1}^{{k}_{1}+1}-1}{{p}_{1}-1}\cdot \frac{{p}_{2}^{{k}_{2}+1}-1}{{p}_{2}-1}{\dots}\frac{{p}_{m}^{{k}_{m}+1}-1}{{p}_{m}-1}.

Пример 1.8 Найдём сумму натуральных делителей числа 360.

Так как 360=2^3\cdot3^2\cdot5, то

\sigma (360)= \frac{{2}^{4}-1}{2-1}\cdot \frac{{3}^{3}-1}{3-1}\cdot \frac{{5}^{2}-1}{5-1}=15\cdot 13\cdot 6=1170.
Лекция 1: 123456789 || Лекция 2 >
Евгений Шаров
Евгений Шаров

как начать заново проходить курс, если уже пройдено несколько лекций со сданными тестами?

Юлия Мышкина
Юлия Мышкина

Обучение с персональным тьютором осуществляется по Скайпу или посредством переписки?

Анна Ладик
Анна Ладик
Россия, А, Университет, 2012
Паулус Шеетекела
Паулус Шеетекела
Россия, ТГТУ, 2010