НОУ ИНТУИТ | Прикладная статистика. Лекция 4: Теоретическая база прикладной статистики

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.11.2009 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 61 студенту

| Поделиться |

Поддержать программу

4.3. Теоремы о наследовании сходимости

Суть проблемы наследования сходимости. Пусть распределения случайных величин X_n при $n\rightarrow\infty$ стремятся к распределению случайной величины . При каких функциях можно утверждать, что распределения случайных величин f(X_n) сходятся к распределению f(X) , т.е. наследуется сходимость?

Хорошо известно, что для непрерывных функций сходимость наследуется [ [ 4.23 ] ]. Однако в прикладной статистике используются различные обобщения этого утверждения. Необходимость обобщений связана с тремя обстоятельствами:

статистические данные могут моделироваться не только случайными величинами, но и случайными векторами, случайными множествами, случайными элементами произвольной природы (т.е. функциями на вероятностном пространстве со значениями в произвольном множестве);
переход к пределу должен рассматриваться не только для случая безграничного возрастания объема выборки, но и в более общих случаях. Например, если в постановке статистической задачи участвуют несколько выборок объемов , то вполне обычным является предположение о безграничном росте всех этих объемов (что можно описать и как $\min\{n(1),n(2),...,n(k)\}\rightarrow\infty)$ ;
функция не обязательно является непрерывной. Она может иметь разрывы. Кроме того, она может зависеть от параметров, по которым происходит переход к пределу, например, может зависеть от объемов выборок. Так, в "Статистический анализ числовых величин" понадобится рассмотреть функцию .

Расстояние Прохорова и сходимость по направленному множеству. Введем необходимые для дальнейшего изложения понятия.

Расстояние (метрика) Прохорова. Пусть - некоторое пространство, - его подмножество, - метрика в . Введем понятие $\varepsilon$ -окрестности множества в метрике :

$S(A,\varepsilon)=\{x\in C:d(A,x)<\varepsilon\}.$

Таким образом, $\varepsilon$ -окрестность множества - это совокупность всех точек пространства , отстоящих от не более чем на положительное число $\varepsilon$ . При этом расстояние от точки до множества - это точная нижняя грань расстояний от до точек множества , т.е.

$d(A,x)=\inf\{d(x,y):y\in A\}.$

Пусть P_1 и P_2 - две вероятностные меры на (т.е. распределения двух случайных элементов со значениями в ). Пусть $D_{12}$ - множество чисел $\varepsilon>0$ таких, что

$P_1(A)\le P_2(S(A,\varepsilon))+\varepsilon$

для любого замкнутого подмножества

пространства

). Пусть $D_{21}$ - множество чисел $\varepsilon>0$ таких, что

$P_2(A)\le P_1(S(A,\varepsilon))+\varepsilon$

для любого замкнутого подмножества

пространства

. Расстояние Прохорова L(P_1,P_2)

между вероятностными мерами (его можно рассматривать и как расстояние между случайными элементами с распределениями P_1

и

соответственно) вводится формулой

$L(P_1,P_2)=\max(\inf D_{12},\inf D_{21}).$

С помощью метрики Прохорова формализуется понятие сходимости распределений случайных элементов в произвольном пространстве.

Расстояние L(P_1,P_2) введено академиком РАН Юрием Васильевичем Прохоровым в середине ХХ в. и широко используется в современной теории вероятностей.

Сходимость по направленному множеству [ [ 4.11 ] , с.95 - 96]. Бинарное отношение $>\ge$ (упорядочение), заданное на множестве , называется направлением на нем, если не пусто и

(а) если m, n и - такие элементы множества , что $m\ge n$ и $n\ge p$ , то $m\ge p$ ;

(б) $m\ge m$ для любого из ;

(в) если и принадлежат , то найдется элемент из такой, что $p\ge m$ и $p\ge n$ .

Направленное множество - это пара $(В, \ge)$ , где $\ge$ > - направление на множестве . Направленностью (или "последовательностью по направленному множеству") называется пара $(f,\ge)$ , где - функция, $\ge$ - направление на ее области определения. Пусть $f:B\rightarrow Y$ , где - топологическое пространство. Направленность $(f, \ge)$ сходится в топологическом пространстве к точке y_0 , если для любой окрестности точки y_0 найдется из такое, что $f(q)\in U$ при любом $q\ge p$ . В таком случае говорят также о сходимости по направленному множеству.

Пусть $B = \{(n(1), n(2), ... , n(k))\}$ - совокупность векторов, каждый из которых составлен из объемов выборок. Пусть

$(n(1), n(2), ..., n(k)) \ge (n_1(1), n_1(2), ..., n_1(k))$

тогда и только тогда, когда $n(_i) \ge n_1(i)$ при всех i=1,2,...,k

. Тогда $(B,\ge)$ - направленное множество, сходимость по которому эквивалентна сходимости при $\min\{n(1), n(2),...,n(k)\}\rightarrow\infty$ .

Чтобы охватить различные частные случаи, целесообразно предельные теоремы формулировать в терминах сходимости по направленному множеству. Будем писать $B=\{\alpha\}$ . Пусть запись $\alpha\rightarrow\infty$ обозначает переход к пределу по направленному множеству.

Формулировка проблемы наследования сходимости. Пусть случайные элементы $X_{\alpha}$ со значениями в пространстве сходятся при $\alpha\rightarrow\infty$ к случайному элементу , где через $\alpha\rightarrow\infty$ обозначен переход к пределу по направленному множеству. Сходимость случайных элементов означает, что $L(X_{\alpha},X)\rifhtarrow 0$ при $\alpha\rightarrow\infty$ , где - метрика Прохорова в пространстве .

Пусть $f_{\alpha}:C\rightarrow Y$ - некоторые функции. Какие условия надо на них наложить, чтобы из $L(X_{\alpha},X)\rightarrow 0$ вытекало, что $L_1(f_{\alpha}(X_{\alpha}), f_{\alpha}(X))\rightarrow 0$ при $\alpha\rightarrow\infty$ , где L_1 - метрика Прохорова в пространстве ? Другими словами, какие условия на функции $f_{\alpha}:C\rightarrow Y$ гарантируют наследование сходимости?

В работах [ [ 1.15 ] , [ 4.19 ] ] найдены необходимые и достаточные условия на функции $f_{\alpha}:C\rightarrow Y$ , гарантирующие наследование сходимости. Описанию этих условий посвящена оставшаяся часть данного пункта.

Приведем для полноты изложения строгие формулировки математических предположений (в дальнейшем никому, кроме профессиональных математиков, не понадобятся).

Математические предположения. Пусть и - полные сепарабельные метрические пространства. Пусть выполнены обычные предположения измеримости: $X_{\alpha}$ и - случайные элементы $C, f_{\alpha}(X_{\alpha})$ и $f_{\alpha}(X)$ - случайные элементы в , рассматриваемые ниже подмножества пространств и лежат в соответствующих $\sigma$ -алгебрах измеримых подмножеств, и т.д.

Понадобятся некоторые определения. Разбиение $Т_n = \{C_{1n}, C_{2n}, ..., C_{nn}\}$ пространства - это такой набор подмножеств C_j, j = 1, 2, ..., n , этого пространства, что пересечение любых двух из них пусто, а объединение совпадает с . Диаметром diam(A) подмножества множества называется точная верхняя грань расстояний между элементами , т.е.

$diam(A) = \sup \{d(x,y), x\in A, y\in A},$

где d(x,y) - метрика в пространстве . Обозначим $\partial A$ границу множества , т.е. совокупность точек х таких, что любая их окрестность U(x) имеет непустое пересечение как с , так и с $C\A$ . Колебанием $\delta(f,B)$ функции на подмножестве множества называется $\delta(f,B)= \sup\{d(x,y)|x\in B, y\in B}$ .

Достаточное условие для наследования сходимости. Пусть $L(X_{\alpha},X)\rightarrow 0$ при $\alpha\rightarrow\infty$ . Пусть существует последовательность T_n разбиений пространства такая, что $P(X\in\partial A) = 0$ для любого из T_n и, основное условие, для любого $\varepsilon> 0$

$m_{\varepsilon}(\alpha,n)=\sum P(X\in A)\rightarrow 0$

( 1)

при $n\rightarrow\infty$ и $\alpha\rightarrow\infty$ , где сумма берется по всем тем

из

, для которых колебание функции $f_{/alpha}$ на

больше $\varepsilon$ , т.е. $\delta(f_{\alpha},A)>\varepsilon$ . Тогда $L_1(f_{alpha}(X_{\alpha}), f_{alpha}(X)) \rightarrow 0$ при $\alpha\rightarrow\infty$ .

Необходимое условие для наследования сходимости. Пусть - конечномерное линейное пространство, Y = R^k . Пусть случайные элементы $f_{}\alpha(X)$ асимптотически ограничены по вероятности при $\alpha\rightarrow\infty$ , т.е. для любого $\varepsilon>0$ существуют число $S(\varepsilon)$ и элемент направленного множества $\alpha(\varepsilon)$ такие, что $P(||f_{\alpha}(X)||>S(\varepsilon))<\varepsilon$ при $\alpha\ge\alpha(\epsilon)$ , где $||f_{alpha}(X)||$ - норма (длина) вектора f_alpha(X) . Пусть существует последовательность T_n разбиений пространства такая, что

$\lim_{n\rightarrow\infty}\max\{diam(C_{jn}),C_{jn}\in T_n\}=0,$

т.е. последовательность T_n

является безгранично измельчающейся. Самое существенное - пусть условие (1) не выполнено для последовательности T_n

. Тогда существует последовательность случайных элементов $X_{\alpha}$ такая, что $L(X_\alpha,X)\rightarrow 0$ при $\alpha\rightarrow\infty$ , но $L_1(f(X_{\alpha}),f_{\alpha}(X))$ не сходится к 0 при $\alpha\rightarrow\infty$ .

Несколько огрубляя, можно сказать, что условие (1) является необходимым и достаточным для наследования сходимости.

Пример 1. Пусть и - конечномерные линейные пространства, функции $f_{\alpha}$ не зависят от $\alpha$ , т.е. $f_{\alpha}\equiv f$ , причем функция ограничена. Тогда условие (1) эквивалентно требованию интегрируемости по Риману-Стилтьесу функции по мере $G(A)=P(X\in A)$ . В частности, условие (1) выполнено для непрерывной функции .

В конечномерных пространствах вместо сходимости $L(X_{\alpha},X)\rightarrow 0$ при $\alpha\rightarrow\infty$ можно говорить о слабой сходимости функций распределения случайных векторов $X_{\alpha}$ к функции распределения случайного вектора . Речь идет о "сходимости по распределению", т.е. о сходимости во всех точках непрерывности функции распределения случайного вектора . В этом случае разбиения могут состоять из многомерных параллелепипедов [ [ 1.15 ] , гл.2].

Пример 2. Полученные выше результаты дают обоснование для следующих рассуждений (ср., например, утверждения в "Статистический анализ числовых величин" ). Пусть по двум независимым выборкам объемов и соответственно построены статистики X_m и Y_n . Пусть известно, что распределения этих статистик сходятся при безграничном росте объемов выборок к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Пусть a(m, n) и b(m, n) - некоторые коэффициенты. Тогда согласно результатам примера 1 распределение случайной величины Z(m,n) = a(m,n)X_m + b(m, n)Y_n сближается с распределением нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием 0 и дисперсией a^2(m,n)+b^2(m,n) . Если же a^2(m,n)+b^2(m,n)=1 , например,