Модели качества и надежности в программной инженерии

10.2.3. Марковские и пуассоновские модели надежности

Марковский процесс характеризуется дискретным временем и конечным множеством состояний. Временной параметр пробегает неотрицательные числовые значения, а процесс (цепочка) определяется набором вероятностей перехода , т.е. вероятностью перейти на -шаге из состояния в состояние . Процесс называется однородным, если он не зависит от . В моделях, базирующихся на процессе Маркова, предполагается, что количество дефектов, обнаруженных в ПС, в любой момент времени зависит от поведения системы и представляется в виде стационарной цепи Маркова [10.5, 10.7, 10.10]. При этом количество дефектов конечное, но является неизвестной величиной, которая задается для модели в виде константы. Интенсивность отказов в ПС или скорость прохода по цепи зависит лишь от количества дефектов, которые остались в ПС. К этой группе моделей относятся: Джелински- Моранды [10.20], Шика-Вулвертона, Шантикумера [10.21] и др.

Ниже рассматриваются некоторые модели надежности, которые обеспечивают рост надежности ПО (модели роста надежности [10.7, 10.10]), находят широкое применение на этапе тестирования и описывают процесс обнаружения отказов при следующих предположениях:

• все ошибки в ПС не зависят друг от друга с точки зрения локализации отказов;
• интенсивность отказов пропорциональна текущему числу ошибок в ПС (убывает при тестировании программного обеспечения);
• вероятность локализации отказов остается постоянной;
• локализованные ошибки устраняются до того, как тестирование будет продолжено;
• при устранении ошибок новые ошибки не вносятся.

Приведем основные обозначения величин при описании моделей роста надежности:

• - число обнаруженных отказов ПО за время тестирования;
• - интервалы времени между отказами и , при ;
• - моменты времени отказов (длительность тестирования до -отказа), при ;
• - продолжительность тестирования ПО (время, для которого определяется надежность);
• - оценка числа ошибок в ПО в начале тестирования;
• - оценка числа прогнозированных ошибок;
• - оценка среднего времени до следующего отказа;
• - оценка среднего времени до завершения тестирования;
• - оценка дисперсии;
• - функция надежности ПО;
• - функция риска в момент времени между и -отказами;
• - коэффициент пропорциональности;
• - частота обнаружения ошибок.

Далее рассматриваются несколько моделей роста надежности, основанные на этих предположениях и использовании результатов тестирования программ в части отказов, времени между ними и др.

Модель Джелинского-Моранды. В этой модели используются исходные данные, приведенные выше, а также:

- число обнаруженных отказов за время тестирования;

- интервалы времени между отказами;

- продолжительность тестирования.

Функция риска в момент времени расположена между и имеет вид:

где ;

Эта функция считается ступенчатой кусочнопостоянной функцией с постоянным коэффициентом пропорциональности и величиной ступени - . Оценка параметров и производится с помощью системы уравнений:

При этом суммарное время тестирования вычисляется так:

Выходные показатели для оценки надежности относительно указанного времени включают:

• число оставшихся ошибок ;
• среднее время до текущего отказа ;
• среднее время до завершения тестирования и его дисперсию
  

При этом функция надежности вычисляется по формуле:

при и числе ошибок, найденных и исправленных на каждом интервале тестирования, равным единице.

Модель Шика-Вулвертона. Модель используется тогда, когда интенсивность отказов пропорциональна не только текущему числу ошибок, но и времени, прошедшему с момента последнего отказа. Исходные данные для этой модели аналогичны выше рассмотренной модели Джелински-Моранды:

• - число обнаруженных отказов за время тестирования,
• - интервалы времени между отказами,
• - продолжительность тестирования.

Функции риска в момент времени между и отказами определяются следующим образом:

Эта функция является линейной внутри каждого интервала времени между отказами, возрастает с меньшим углом наклона. Оценка c и N вычисляется из системы уравнений:

К выходным показателям надежности относительно продолжительности относятся:

• число оставшихся ошибок ;
• среднее время до следующего отказа MTт = (р / (2 (N - m) c) )1/2;
• среднее время до завершения тестирования и его дисперсия
  

Функция надежности вычисляется по формуле:

Модели пуассоновского типа базируются на выявлении отказов и моделируются неоднородным процессом, который задает - неоднородный пуассоновский процесс с функцией интенсивности , что соответствует общему количеству отказов ПС за время его использования .

Модель Гоело-Окумото. В основе этой модели лежит описание процесса обнаружения ошибок с помощью неоднородного пуассоновского процесса, ее можно рассматривать как модель экспоненциального роста. В этой модели интенсивность отказов также зависит от времени. Кроме того, в ней количество выявленных ошибок трактуется как случайная величина, значение которой зависит от теста и других условных факторов.

Исходные данные этой модели:

• - число обнаруженных отказов за время тестирования;
• - интервалы времени между отказами;
• - продолжительность тестирования.

Функция среднего числа отказов, обнаруженных к моменту , имеет вид

где - интенсивность обнаружения отказов и показатель роста надежности .

Функция интенсивности в зависимости от времени работы до отказа равна

Оценка и получаются из решения уравнений:

Выходные показатели надежности относительно времени определяют:

1. среднее число ошибок, которые были обнаружены в интервале , по формуле ,
2. функцию надежности
   

В этой модели обнаружение ошибки трактуется как случайная величина, значение которой зависит от теста и операционной среды.

В других моделях количество обнаруженных ошибок рассматривается как константа.В моделях роста надежности исходной информацией для расчета надежности являются интервалы времени между отказами тестируемой программы, число отказов и время, для которого определяется надежность программы при отказе. На основании этой информации по моделям определяются показатели надежности вида:

• вероятность безотказной работы;
• среднее время до следующего отказа;
• число необнаруженных отказов (ошибок);
• среднее время дополнительного тестирования программы.

Модель анализа результатов прогона тестов использует в своих расчетах общее число экспериментов тестирования и число отказов. Эта модель определяет только вероятность безотказной работы программы и выбрана для случаев, когда предыдущие модели нельзя использовать (мало данных, некорректность вычислений). Формула определения вероятности безотказной работы по числу проведенных экспериментов имеет вид

где - число ошибочных экспериментов, - число проведенных экспериментов для проверки работы ПС.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что модели надежности ПС основаны на времени функционирования и/или количестве отказов (ошибок), полученных в программах в процессе их тестирования или эксплуатации. Модели надежности учитывают случайный марковский и пуассоновский характер соответственно процессов обнаружения ошибок в программах, а также характер и интенсивность отказов.

Контрольные вопросы и задания

1. Определите понятие качество ПО.
2. Назовите основные аспекты и уровни модели качества ПО.
3. Определите характеристики качества ПО и их назначение.
4. Какие методы используются при определении показателей качества?
5. Определите метрики программного продукта и их составляющие.
6. Какие стандарты в области качества ПО существуют?
7. Назовите основные цели и задачи системы управления качеством.
8. В чем суть инженерии качества?Назовите критерии классификации моделей надежности.
9. Дайте определение типов моделей надежности и их базис.
10. В чем отличие марковских и пуассоновских моделей надежности?
11. Сформулируйте основные параметры и предположения модели Джелинского.