НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 16: Алгоритмически разрешимые проблемы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 33 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

15.9*. Проблема неравенства регулярных выражений без итерации

Теорема 15.9.1. Проблема неравенства регулярных выражений без итерации ( то есть регулярных выражений с нулевой звездной высотой ) NP- полна.

Доказательство. По регулярному выражению без итерации легко построить конечный автомат с однобуквенными переходами, не содержащий циклов. Проблема неравенства таких конечных автоматов принадлежит классу NP: достаточно "угадать" слово, принадлежащее разности языков, распознаваемых двумя данными автоматами, и, продвигаясь по этому слову буква за буквой, подобно доказательству теоремы 2.7.1 вычислять, в каких состояниях автоматы могут оказаться. При этом длину слова можно ограничить максимумом числа состояний двух автоматов.

Осталось доказать, что проблема неравенства регулярных выражений без итерации NP-сложна. Для этого достаточно продемонстрировать, что к этой проблеме полиномиально сводится проблема выполнимости булевых формул в конъюнктивной нормальной форме (то есть множество кодов выполнимых булевых формул в конъюнктивной нормальной форме полиномиально сводится к множеству кодов пар неравных регулярных выражений без итерации). Искомое полиномиальное сведЕние может быть построено следующим образом.

Пусть дана булева формула $C_1 \land C_2 \land \ldots \land C_m$ , составленная из пропозициональных переменных x₁, x₂, ..., x_n (при более формальном подходе можно считать x_i обозначением слова p#ⁱ, как это сделано в примере 7.2.8). Здесь для каждого $j \leq m$ формула C_j является элементарной дизъюнкцией. Для краткости будем обозначать отрицание переменной x_i через $\overline{x_i}$ (а не через $\lnot x_i$ , как в примере 7.2.8).

Построим два регулярных выражения над алфавитом $\Sigma = \{a,b\}$ . В качестве первого регулярного выражения возьмем

$\underbrace{ (a+b) \cdot (a+b) \cdot \ldots \cdot (a+b) }_{n \text{ раз}} .$

Для удобства отождествим истинностные значения "ложь" и "истина" с символами a и b соответственно. Тогда оценку пропозициональных переменных x₁, x₂, ..., x_n можно естественным образом отождествить со словом длины n в алфавите $\Sigma$ . Второе регулярное выражение e построим так, чтобы выполнялось равенство

$\regval{e} = \{ w \in \Sigma^* \mid | w | = n \rusand C_1 \land C_2 \land \ldots \land C_m \mathspace\text{ложна при оценке}\mathspace w \} .$

Если m = 1, то это сделать легко. Возьмем в качестве e произведение n сомножителей, каждый из которых совпадает с~одним из следующих четырех регулярных выражений: (a + b), a, b, 0. При этом i -й сомножитель соответствует пропозициональной переменной x_i и выбирается следующим образом:

если данная элементарная дизъюнкция не содержит ни литерала x_i, ни литерала $\overline{x_i}$ , то используем выражение (a+b) ;
если она содержит литерал x_i, но не содержит литерала $\overline{x_i}$ , то используем выражение a ;
если она содержит литерал $\overline{x_i}$ , но не содержит литерала x_i, то используем выражение b ;
если она содержит оба литерала x_i и $\overline{x_i}$ , то используем выражение 0.

Если m > 1, то построим по указанному методу для каждой из булевых формул C₁, C₂, ..., C_m регулярное выражение и возьмем их сумму.

Легко видеть, что два построенных так регулярных выражения равны тогда и только тогда, когда булева формула $C_1 \land C_2 \land \ldots \land C_m$ невыполнима.

Пример 15.9.2. Пусть $\Sigma = \{ a , b \}$ . Регулярные выражения

(a+b)(a+b)(a+b)

и

ab(a+b)+(a+b)ab+b(a+b)(a+b)+(a+b)(a+b)a

равны, так как булева формула

$(x_1 \lor \overline{x_2}) \land (x_2 \lor \overline{x_3}) \land \overline{x_1} \land x_3$

невыполнима (или, другими словами, булева формула

$(\overline{x_1} \land x_2) \lor (\overline{x_2} \land x_3) \lor x_1 \lor \overline{x_3}$

является тавтологией).

Упражнение 15.9.3. Равны ли регулярные выражения

(a+b)(a+b)(a+b)

и

bb(a+b)+ba(a+b)+a(a+b)b+(a+b)aa ?

Упражнение 15.9.4. Равны ли регулярные выражения

(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)

и

aab(a+b)+a(a+b)(a+b)b+(a+b)aa(a+b)+(a+b)bb(a+b)+
                         +(a+b)baa+bab(a+b)+b(a+b)(a+b)b ?

Упражнение 15.9.5. Эквивалентен ли конечный автомат

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{1} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "1,2" <0.6mm> ^{a} \ar "1,2" <-0.6mm> _{b} & *=[o][F-]{2} \ar "1,3" <0.6mm> ^{a} \ar "1,3" <-0.6mm> _{b} & *=[o][F-]{3} \ar "1,4" <0.6mm> ^{a} \ar "1,4" <-0.6mm> _{b} & *=[o][F=]{4} }$

конечному автомату, изображенному ниже?

$\objectwidth={5mm} \objectheight={5mm} \let\objectstyle=\scriptstyle \xymatrix { *=[o][F-]{0} \ar @`{+/l16mm/} [] ^{} \ar "4,1" <0.6mm> ^{a} \ar "4,1" <-0.6mm> _{b} \ar "2,2" ^{a} \ar "1,4" _{b} & & & *=[o][F-]{4} \ar "4,4" <0.6mm> ^{a} \ar "4,4" <-0.6mm> _{b} \ar "2,3" _{b} \\ % & *=[o][F-]{2} \ar "3,2" <0.6mm> ^{a} \ar "3,2" <-0.6mm> _{b} \ar "2,3" ^{a} & *=[o][F-]{6} \ar "3,3" <0.6mm> ^{a} \ar "3,3" <-0.6mm> _{b} & \\ % & *=[o][F-]{3} \ar "3,3" _{a} & *=[o][F=]{7} & \\ *=[o][F-]{1} \ar "3,2" _{a} \ar "4,4" ^{b} & & & *=[o][F-]{5} \ar "3,3" ^{b} }$

Дальше >>

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Алгоритмически разрешимые проблемы

15.9*. Проблема неравенства регулярных выражений без итерации

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Алгоритмически разрешимые проблемы

15.9*. Проблема неравенства регулярных выражений без итерации

Вопросы и ответы

Студенты