Упражнение 2.1.25 |
Алгоритмические проблемы
14.5. Проблема соответствий Поста
Определение 14.5.1. Постовской системой соответствия
над алфавитом
называется упорядоченная
пара конечных последовательностей
,
где
и
для всех i.
Замечание 14.5.2.
Систему
иногда изображают в виде
![\domino{x_1}{y_1} , \ldots , \domino{x_n}{y_n} .](/sites/default/files/tex_cache/4e12908a21df474529cd3646c0d0e1df.png)
Определение 14.5.3. Решением (match)
постовской системы соответствия ((x1,...,xn),(y1,...,yn))
называется непустая последовательность индексов ,
удовлетворяющая условию
![x_{i_1} \ldots x_{i_k} = y_{i_1} \ldots y_{i_k} ,](/sites/default/files/tex_cache/270aecd9028f21a24bbbe5cdd12d35ee.png)
![1 \leq i_j \leq n](/sites/default/files/tex_cache/89850898388ca855b746f802872873d1.png)
Пример 14.5.4.
Пусть .
Рассмотрим постовскую систему соответствия
![\domino{ a a b }{ a } ,
\domino{ a }{ a a } ,
\domino{ c a a }{ b c } .](/sites/default/files/tex_cache/59ca25e75c790b1cf7c9100e4b275003.png)
![a \cdot aab \cdot caa \cdot a \cdot a =
aa \cdot a \cdot bc \cdot aa \cdot aa .](/sites/default/files/tex_cache/2877fd54c0f26862265bb11250700c00.png)
Упражнение 14.5.5.
Пусть .
Существует ли решение у постовской системы соответствия
![\begin{gathered*}
\domino{ a \spadesuit }
{ a \spadesuit a b a \heartsuit 1 a c a \spadesuit a } ,
\domino{ a b }{ b a } ,
\domino{ a c }{ c a } ,
\domino{ a \spadesuit }{ \spadesuit a } ,
\domino{ a \spadesuit }{ b a \spadesuit a } ,
\domino{ a \spadesuit }{ \spadesuit a b a } ,
\\
\!\domino{ a \heartsuit 1 a b }{ \diamondsuit a }\! ,
\!\domino{ a \heartsuit 1 a c }{ c a \heartsuit 1 0 a }\! ,
\!\domino{ a b a \heartsuit 1 0 a b }{ \heartsuit 1 0 a b a c a }\! ,
\!\domino{ a c a \heartsuit 1 0 a b }{ \heartsuit 1 0 a c a c a }\! ,
\!\domino{ a \heartsuit 1 0 a c }{ c a \heartsuit 1 1 a }\! ,
\!\domino{ a \heartsuit 1 1 a c }{ c a \heartsuit 1 a }\! ,
\\
\domino{ a \diamondsuit a b }{ \diamondsuit a } ,
\domino{ a \diamondsuit a c }{ \diamondsuit a } ,
\domino{ a b a \diamondsuit }{ \diamondsuit a } ,
\domino{ a c a \diamondsuit }{ \diamondsuit a } ,
\domino{ a \diamondsuit a \spadesuit a \spadesuit }{ \spadesuit } ?
\end{gathered*}](/sites/default/files/tex_cache/57ca2f5baaf936133c85a90720ee7bf4.png)
Определение 14.5.6. Проблемой соответствий Поста (Post correspondence problem) называется проблема нахождения алгоритма, выясняющего для каждой постовской системы соответствия, существует ли решение этой системы.
Теорема 14.5.7. Пусть . Тогда не существует алгоритма, позволяющего по произвольной
постовской системе соответствия над алфавитом
узнать, имеет ли она решение.
( Другими словами,
проблема соответствий Поста неразрешима.)
Доказательство можно найти в [ХопМот, 9.4].
Упражнение 14.5.8.
Существует ли решение у постовской системы соответствия ?
Упражнение 14.5.9.
Существует ли решение у постовской системы соответствия ?
Упражнение 14.5.10.
Существует ли решение у постовской системы соответствия ?
Упражнение 14.5.11.
Существует ли решение у постовской системы соответствия ?
Упражнение 14.5.12.
Существует ли решение у постовской системы соответствия ?
Упражнение 14.5.13.
Существует ли решение у постовской системы соответствия ?
Упражнение 14.5.14.
Существует ли решение у постовской системы соответствия ?
Упражнение 14.5.15. Существует ли постовская система соответствия, имеющая ровно одно решение?