НОУ ИНТУИТ | Математическая теория формальных языков. Лекция 13: Детерминированные контекстно-свободные языки

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 09.07.2007 | Уровень: профессионал | Доступ: платный | ВУЗ: Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

|

Вам нравится? Нравится 33 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

12.2*. Свойства класса детерминированных языков

Теорема 12.2.1. Каждый автоматный язык является детерминированным контекстно-свободным языком.

Доказательство. Утверждение следует из теоремы 2.7.1.

Лемма 12.2.2. Каждый детерминированный МП-автомат $M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg$ эквивалентен некоторому детерминированному МП-автомату $M' \peq \lalg Q' , \Sigma , \Gamma' , \Delta' , I' , F' \ralg$ , где для каждого перехода $\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta'$ выполняется неравенство $| x | + | \beta | \leq 1$ .

Доказательство. Пусть дан детерминированный МП-автомат $M = \lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg$ . Назовем избытком перехода

$\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta$

натуральное число $\max (0 , | x | + | \beta | - 1 )$ . Докажем лемму индукцией по сумме избытков всех переходов.

Шаг индукции. Пусть существует переход

$\lp \lp p_0 , x_0 , \beta_0 \rp , \lp q_0 , \gamma_0 \rp \rp \in \Delta$

с положительным избытком. Рассмотрим четыре случая.

Случай 1. $\Delta \cap (( \{ p_0 \} \times \{ \varepsilon \} \times \Gamma ^* ) \times ( Q \times \Gamma ^* )) = \varnothing$ . Обозначим первый символ слова x₀ через a₀. Преобразуем МП-автомат M в эквивалентный ему детерминированный МП-автомат с меньшей суммой избытков всех переходов. Для этого добавим новое состояние r и переход $\lp \lp p_0 , a_0 , \varepsilon \rp , \lp r , \varepsilon \rp \rp$ . Каждый переход вида $\lp \lp p_0 , a_0 x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp$ заменим на переход $\lp \lp r , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp$ . К полученному таким образом детерминированному МП-автомату применимо предположение индукции.

Случай 2. $\Delta \cap (( \{ p_0 \} \times \Sigma ^* \times \{ \varepsilon \} ) \times ( Q \times \Gamma ^* )) = \varnothing$ . Обозначим первый символ слова $\beta_0$ через C₀. Преобразуем МП-автомат M в эквивалентный ему детерминированный МП-автомат с меньшей суммой избытков всех переходов. Для этого добавим новое состояние r и переход $\lp \lp p_0 , \varepsilon , C_0 \rp , \lp r , \varepsilon \rp \rp$ . Каждый переход вида $\lp \lp p_0 , x , C_0 \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp$ заменим на переход $\lp \lp r , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp$ . К полученному таким образом детерминированному МП-автомату применимо предположение индукции.

Случай 3. Существует переход $\lp \lp p_0 , \varepsilon , \varepsilon \rp , \lp q_1 , \gamma_1 \rp \rp \in \Delta$ . Тогда переходы $\lp \lp p_0 , x_0 , \beta_0 \rp , \lp q_0 , \gamma_0 \rp \rp$ и $\lp \lp p_0 , \varepsilon , \varepsilon \rp , \lp q_1 , \gamma_1 \rp \rp$ совместны. Противоречие.

Случай 4. Существуют переход $\lp \lp p_0 , \varepsilon , \beta_1 \rp , \lp q_1 , \gamma_1 \rp \rp \in \Delta$ и переход $\lp \lp p_0 , x_2 , \varepsilon \rp , \lp q_2 , \gamma_2 \rp \rp \in \Delta$ , где $\beta_1 \neq \varepsilon$ и $x_2 \neq \varepsilon$ . Тогда переходы $\lp \lp p_0 , \varepsilon , \beta_1 \rp , \lp q_1 , \gamma_1 \rp \rp$ и $\lp \lp p_0 , x_2 , \varepsilon \rp , \lp q_2 , \gamma_2 \rp \rp$ совместны. Противоречие.

Лемма 12.2.3. Каждый детерминированный МП-автомат $M \peq \lalg Q , \Sigma , \Gamma , \Delta , I , F \ralg$ эквивалентен некоторому детерминированному МП-автомату $M' \peq \lalg Q' , \Sigma , \Gamma' , \Delta' , I' , F' \ralg$ , где каждый переход $\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta'$ удовлетворяет условиям $| x | + | \beta | \leq 1$ и $| \beta | + | \gamma | = 1$ .

Доказательство. Сначала применим лемму 12.2.2, затем преобразуем МП-автомат так, чтобы для каждого перехода $\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp$ выполнялось неравенство $| x | + | \beta | + | \gamma | \leq 1$ (см. пример 10.2.4), и в заключение заменим каждый переход вида $\lp \lp p , x , \varepsilon \rp , \lp q , \varepsilon \rp \rp$ на два последовательных перехода (см. пример 10.2.5).

Лемма 12.2.4. Пусть $\eos \notin \Sigma$ , $L \subseteq \Sigma ^*$ и язык $L \cdot \{ \eos \}$ порождается некоторым детерминированным МП-автоматом. Тогда этот язык порождается также некоторым детерминированным МП-автоматом $\lalg Q , \Sigma \cup \{ \eos \} , \Gamma , \Delta , I , F \ralg$ , где $Q = Q_1 \cup Q_2$ , $Q_1 \cap Q_2 = \varnothing$ ,

$\begin{align*} & \Delta = \Delta_{11} \cup \Delta_{12} \cup \Delta_{22} ,\\ & \Delta_{11} \subseteq ( Q_1 \times \Sigma ^* \times \Gamma^* ) \times ( Q_1 \times \Gamma^* ) ,\\ & \Delta_{12} \subseteq ( Q_1 \times \{ \eos \} \times \Gamma^* ) \times ( Q_2 \times \Gamma^* ) ,\\ & \Delta_{22} \subseteq ( Q_2 \times \{ \varepsilon \} \times \Gamma^* ) \times ( Q_2 \times \Gamma^* ) , \end{align*}$

$I \subseteq Q_1$ , $F \subseteq Q_2$ и каждый переход

$\lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta$

удовлетворяет условиям $| x | + | \beta | \leq 1$ и $| \beta | + | \gamma | = 1$ .

Доказательство. Применив лемму 12.2.3, получим детерминированный МП-автомат $\lalg Q' , \Sigma \cup \{ \eos \} , \Gamma' , \Delta' , I' , F' \ralg$ . Построим искомый МП-автомат $\lalg Q , \Sigma \cup \{ \eos \} , \Gamma , \Delta , I , F \ralg$ , положив $Q = Q' \times \{ 1 , 2 \}$ , $Q_1 = Q' \times \{ 1 \}$ , $Q_2 = Q' \times \{ 2 \}$ , $\Gamma = \Gamma'$ , $I = I' \times \{ 1 \}$ , $F = F' \times \{ 2 \}$ ,

$\begin{align*} {} & \Delta_{11} = \{ \lp \lp \lp p , 1 \rp , x , \beta \rp , \lp \lp q , 1 \rp , \gamma \rp \rp \mid \lp \lp p , x , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta' \commaand x \in \Sigma ^* \} , \\ & \Delta_{12} = \{ \lp \lp \lp p , 1 \rp , \eos , \beta \rp , \lp \lp q , 2 \rp , \gamma \rp \rp \mid \lp \lp p , \eos , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta' \} , \\ & \Delta_{22} = \{ \lp \lp \lp p , 2 \rp , \varepsilon , \beta \rp , \lp \lp q , 2 \rp , \gamma \rp \rp \mid \lp \lp p , \varepsilon , \beta \rp , \lp q , \gamma \rp \rp \in \Delta' \} . \end{align*}$

Теорема 12.2.5. Язык $L \subseteq \Sigma ^*$ является детерминированным контекстно-свободным языком тогда и только тогда, когда найдется такой детерминированный МП-автомат $M' \peq \lalg Q' , \Sigma , \Gamma' , \Delta' , I' , F' \ralg$ , что

$L \squeeze{=} \{ w \squeeze{\in} \Sigma^* \squeeze{\mid} \lp s ,\! w ,\! \varepsilon \rp \squeeze{\overstar{\vdash}} \lp q ,\! \varepsilon ,\! \alpha \rp \mathspace\text{для некоторых}\mathspace s \squeeze{\in} I' ,\ \! q \squeeze{\in} F' \commaand \! \alpha \squeeze{\in} \Gamma ^{\prime *} \} .$

Доказательство. Достаточность проверяется легко. Докажем необходимость. Рассмотрим МП-автомат

$M = \lalg Q_1 \cup Q_2 , \Sigma \cup \{ \eos \} , \Gamma , \Delta_{11} \cup \Delta_{12} \cup \Delta_{22} , \{ \qinitial \} , F \ralg ,$

о котором говорится в лемме 12.2.4.

Для любых $\alpha \in \Gamma ^*$ и $H \subseteq Q_2$ введем обозначение

$\Delta_{22} ^{-1} ( \alpha , H ) = \{ p \in Q_2 \mid \lp p , \varepsilon , \alpha \rp \overstar{\vdash} \lp q , \varepsilon , \varepsilon \rp \mathspace\text{для некоторого}\mathspace q \in H \} .$

Очевидно, что $\Delta_{22} ^{-1} ( \gamma , \Delta_{22} ^{-1} ( \alpha , H )) = \Delta_{22} ^{-1} ( \gamma \alpha , H )$ для любых $\alpha \in \Gamma ^*$ , $\gamma \in \Gamma ^*$ и $H \subseteq Q_2$ .

Построим искомый МП-автомат $\lalg Q' , \Sigma , \Gamma' , \Delta' , I' , F' \ralg$ , положив

$\begin{align*} Q' &= Q_1 \times \powerset{ Q_2 } ,\\ \Gamma' &= \Gamma \times \powerset{ Q_2 } ,\\ I' &= \{ \qnew{ \qinitial }{ \Delta_{22} ^{-1} ( \varepsilon , F ) } \} ,\\ F' &= \{ \qnew{ p }{ H } \mid \lp \lp p , \eos , \varepsilon \rp , \lp q , C \rp \rp \in \Delta_{12} ,\ H \subseteq Q_2 \commaand q \in \Delta_{22} ^{-1} ( C , H ) \} ,\\ \Delta' &= \{ \lp \lp \qnew{ p }{ H } , x , \gamnew{ C }{ K } \rp , \lp \qnew{ q }{ K } , \varepsilon \rp \rp \mid \\ &\myqquad \hphantom{ {} \cup{} \{ } %\} \lp \lp p , x , C \rp , \lp q , \varepsilon \rp \rp \in \Delta_{11} ,\ H \subseteq Q_2 \commaand K \subseteq Q_2 \} \cup {}\\ &\myqquad \cup \{ \lp \lp \qnew{ p }{ H } , x , \varepsilon \rp , \lp \qnew{ q }{ \Delta_{22} ^{-1} ( C , H ) } , \gamnew{ C }{ H } \rp \rp \mid \\ &\myqquad \hphantom{ {} \cup{} \{ } %\} \lp \lp p , x , \varepsilon \rp , \lp q , C \rp \rp \in \Delta_{11} \commaand H \subseteq Q_2 \} . \end{align*}$

(Напоминаем, что через $\powerset{ Q_2 }$ обозначается множество всех подмножеств множества Q₂.)

Индукцией по количеству тактов работы можно доказать, что

$\lp \qnew{ \qinitial }{ \Delta_{22} ^{-1} ( \varepsilon , F ) } , w , \varepsilon \rp \overstar{\myunderset{ M' }{\vdash}} \lp \qnew{ q }{ H_0 } , \varepsilon , \gamnew{ C_1 }{ H_1 } \gamnew{ C_2 }{ H_2 } \ldots \gamnew{ C_n }{ H_n } \rp$

тогда и только тогда, когда

$\lp \qinitial , w , \varepsilon \rp \overstar{\myunderset{ M }{\vdash}} \lp q , \varepsilon , C_1 C_2 \ldots C_n \rp$

и

$H_k = \Delta_{22} ^{-1} ( C_{k+1} C_{k+2} \ldots C_n , F )$

для каждого $k \leq n$ .

Теорема 12.2.6. Пусть L - детерминированный контекстно-свободный язык. Тогда язык L не является существенно неоднозначным.

Доказательство. Пусть дан детерминированный контекстно-свободный язык L. Рассмотрим МП-автомат

$M = \lalg Q_1 \cup Q_2 , \Sigma \cup \{ \eos \} , \Gamma , \Delta_{11} \cup \Delta_{12} \cup \Delta_{22} , \{ \qinitial \} , F \ralg ,$

о котором говорится в лемме 12.2.4. Применив к этому МП-автомату конструкцию из доказательства теоремы 10.2.7, получим однозначную контекстно-свободную грамматику G, порождающую язык $L \cdot \{ \eos \}$ . Стирая в этой грамматике все вхождения символа $\eos$ , получим контекстно-свободную грамматику G', порождающую язык L.

Так как МП-автомат M не содержит переходов, ведущих из Q₂ в Q₁, а символ $\eos$ встречается только на переходах, ведущих из Q₁ в Q₂, то в каждом G' -выводе однозначно определяется правило, которому в G соответствует правило, содержащее $\eos$ . Поэтому существует естественное однозначное соответствие между деревьями вывода в грамматике G' и деревьями вывода в грамматике G (при этом кроны соответствующих друг другу деревьев различаются только символом $\eos$ ). Следовательно, грамматика G' тоже является однозначной.

Теорема 12.2.7. Дополнение каждого детерминированного контекстно-свободного языка является детерминированным контекстно-свободным языком.

Доказательство можно найти в [7, c. 110-116] или [2, c. 212-217].

Пример 12.2.8. Язык $L = \{ a^k b^m c^n \mid k \neq m \rusor m \neq n \}$ над алфавитом {a,b,c} не является детерминированным контекстно-свободным языком, так как его дополнение не является контекстно-свободным.

Теорема 12.2.9. Неверно, что для любых детерминированных контекстно-свободных языков L₁ и L₂ язык $L_1 \cap L_2$ тоже является детерминированным контекстно-свободным языком.

Доказательство. Достаточно рассмотреть детерминированные контекстно-свободные языки L₁ и L₂ из доказательства теоремы 9.5.1.

Теорема 12.2.10. Неверно, что для любых детерминированных контекстно-свободных языков L₁ и L₂ язык $L_1 \cup L_2$ тоже является детерминированным контекстно-свободным языком.

Доказательство. Утверждение следует из теорем 12.2.7 и 12.2.9 и закона де Моргана.

Упражнение 12.2.11. Является ли детерминированным контекстно-свободный язык $\{ a^k b^m c^n \mid k < \max(m,n) \}$ ?

Дальше >>

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Детерминированные контекстно-свободные языки

12.2*. Свойства класса детерминированных языков

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Математическая теория формальных языков

Математическая теория формальных языков

Детерминированные контекстно-свободные языки

12.2*. Свойства класса детерминированных языков

Вопросы и ответы

Студенты